Na manhã de hoje, o popular site de buscas Google colocou, em sua página inicial, um doodle comemorativo ao aniversário de 306 anos do nascimento do matemático e físico suíço Leonhard Euler, que deu valiosas contribuições para esses dois campos do conhecimento descobrindo, entre outras coisas, a relação entre faces, vértices e arestas de um poliedro e o famoso número que leva seu nome. Em homenagem a esse dia tão especial, vou publicar aqui uma demonstração do Teorema de Euler  desenvolvida pelo professor Zoroastro Azambuja Filho, que foi publicada na terceira edição da Revista do Professor de Matemática, lá no ano de 1983.

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  Na manhã de hoje, o popular site de buscas Google colocou, em sua página inicial, um doodle comemorativo ao aniversário de 306 anos do nascimento do matemático e físico suíço Leonhard Euler, que deu valiosas contribuições para esses dois campos do conhecimento descobrindo, entre outras coisas, a relação entre faces, vértices e arestas de um poliedro e o famoso número que leva seu nome. Em homenagem a esse dia tão especial, vou publicar aqui uma demonstração do Teorema de Euler  desenvolvida pelo professor Zoroastro Azambuja Filho, que foi publicada na terceira edição da Revista do Professor de Matemática, lá no ano de 1983.

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Dadas r e s duas retas distintas, as únicas posições relativas que podem ocorrer entre elas são: 1) r ∩ s = P ponto. Neste caso, dizemos que r e s são retas concorrentes. Note que, como pelo Postulado 3, três pontos distintos do espaço não colineares determinam um único plano, as retas concorrentes r e s sempre serão coplanares, pois é possível determinar um único plano pegando-se um ponto de r diferente de P, um ponto de s diferente de P e o próprio ponto P, conforme você pode ver na ilustração abaixo:

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Dadas r e s duas retas distintas, as únicas posições relativas que podem ocorrer entre elas são: 1) r ∩ s = P ponto. Neste caso, dizemos que r e s são retas concorrentes. Note que, como pelo Postulado 3, três pontos distintos do espaço não colineares determinam um único plano, as retas concorrentes r e s sempre serão coplanares, pois é possível determinar um único plano pegando-se um ponto de r diferente de P, um ponto de s diferente de P e o próprio ponto P, conforme você pode ver na ilustração abaixo:

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Quando o professor inicia o ensino de Geometria Espacial, ele enfrenta um difícil obstáculo que é a representação gráfica dos sólidos em sala de aula. Embora saibamos que, atualmente, dispomos de vários softwares livres e comerciais para visualizar sólidos e construções geométricas espaciais, na maioria das vezes o professor dispõe apenas dos velhos giz e quadro negro para dar sua aua e, é claro, que esses recursos possuem suas limitações. Quando estamos na Geometria Plana, é relativamente fácil construir as figuras, pois o próprio quadro negro pode ser utilizado como plano. Já quando passamos para o espaço, notamos as dificuldades. Na ilustração acima, por exemplo, a representação de um círculo, à

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Quando o professor inicia o ensino de Geometria Espacial, ele enfrenta um difícil obstáculo que é a representação gráfica dos sólidos em sala de aula. Embora saibamos que, atualmente, dispomos de vários softwares livres e comerciais para visualizar sólidos e construções geométricas espaciais, na maioria das vezes o professor dispõe apenas dos velhos giz e quadro negro para dar sua aua e, é claro, que esses recursos possuem suas limitações. Quando estamos na Geometria Plana, é relativamente fácil construir as figuras, pois o próprio quadro negro pode ser utilizado como plano. Já quando passamos para o espaço, notamos as dificuldades. Na ilustração acima, por exemplo, a representação de um círculo, à

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A falta de uma definição precisa sobre o que é um poliedro foi uma das maiores culpadas pela dificuldade dos matemáticos do passado de demonstrarem teoremas sobre estes sólidos. Um poliedro é a reunião de um número finito de polígonos planos, chamados de faces, onde: a) Cada lado de um desses polígonos é lado de um, e apenas um, outro polígono. b) A interseção de dois lados quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice ou é vazia. c) É sempre possível ir de um ponto qualquer de uma face a um ponto qualquer de outra face sem passar por um vértice. Os polígonos que formam o poliedro são

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A falta de uma definição precisa sobre o que é um poliedro foi uma das maiores culpadas pela dificuldade dos matemáticos do passado de demonstrarem teoremas sobre estes sólidos. Um poliedro é a reunião de um número finito de polígonos planos, chamados de faces, onde: a) Cada lado de um desses polígonos é lado de um, e apenas um, outro polígono. b) A interseção de dois lados quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice ou é vazia. c) É sempre possível ir de um ponto qualquer de uma face a um ponto qualquer de outra face sem passar por um vértice. Os polígonos que formam o poliedro são

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