Dado um cone de folha dupla e um plano secante que não passa pelo vértice do mesmo, chamamos de seções cônicas ou, simplesmente, de cônicas à curva obtida através do corte do cone pelo plano. Dependendo de onde ocorre o corte, a cônica poderá ser classificada como uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. Caso o plano secante passe pelo vértice do cone, teremos uma degeneração, que poderá ser um ponto, uma reta, um par de retas concorrentes ou o conjunto vazio.

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Dado um cone de folha dupla e um plano secante que não passa pelo vértice do mesmo, chamamos de seções cônicas ou, simplesmente, de cônicas à curva obtida através do corte do cone pelo plano. Dependendo de onde ocorre o corte, a cônica poderá ser classificada como uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. Caso o plano secante passe pelo vértice do cone, teremos uma degeneração, que poderá ser um ponto, uma reta, um par de retas concorrentes ou o conjunto vazio.

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Uma base é um conjunto de três vetores não coplanares. Esses vetores, assim, são LI e geram o espaço. A Base de Vetores, então, é utilizada como o sistema de coordenadas de pontos, de retas, de planos e de outros objetos no espaço. Se  é uma base de V³, então todo vetor de V³ é gerado pelos vetores de E. Como essa tripla de vetores é única, a conclusão a qual chegamos é que, uma vez escolhida uma base E, a cada vetor fica associada uma única tripla de escalares (a1, a2,a3), a qual podemos chamar de coordenadas do vetor na base E. Logo, se dissermos que as coordenadas do vetor

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Uma base é um conjunto de três vetores não coplanares. Esses vetores, assim, são LI e geram o espaço. A Base de Vetores, então, é utilizada como o sistema de coordenadas de pontos, de retas, de planos e de outros objetos no espaço. Se  é uma base de V³, então todo vetor de V³ é gerado pelos vetores de E. Como essa tripla de vetores é única, a conclusão a qual chegamos é que, uma vez escolhida uma base E, a cada vetor fica associada uma única tripla de escalares (a1, a2,a3), a qual podemos chamar de coordenadas do vetor na base E. Logo, se dissermos que as coordenadas do vetor

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Junto às coordenadas cartesianas, as coordenadas polares são utilizadas para determinar a posição de pontos e outros objetos no plano. Em determinadas situações, porém, é mais fácil resolver determinados problemas utilizando coordenadas polares do que coordenadas cartesianas. É importante, então, saber como converter uma coordenada que esteja em coordenadas cartesianas para coordenadas polares e vice-versa.

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Junto às coordenadas cartesianas, as coordenadas polares são utilizadas para determinar a posição de pontos e outros objetos no plano. Em determinadas situações, porém, é mais fácil resolver determinados problemas utilizando coordenadas polares do que coordenadas cartesianas. É importante, então, saber como converter uma coordenada que esteja em coordenadas cartesianas para coordenadas polares e vice-versa.

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Os vetores são uma parte importante tanto da Física quanto da Matemática, em especial da Geometria Analítica. No entanto, muitos professores simplesmente não sabem explicar corretamente o que é um vetor. Não raras vezes, eles acabam dizendo que um vetor é “aquela flechinha que fica em cima da letra” e o aluno simplesmente aceita essa informação. Neste post, vou explicar, de uma maneira rápida e fácil, o que é, formalmente, um vetor.

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Os vetores são uma parte importante tanto da Física quanto da Matemática, em especial da Geometria Analítica. No entanto, muitos professores simplesmente não sabem explicar corretamente o que é um vetor. Não raras vezes, eles acabam dizendo que um vetor é “aquela flechinha que fica em cima da letra” e o aluno simplesmente aceita essa informação. Neste post, vou explicar, de uma maneira rápida e fácil, o que é, formalmente, um vetor.

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O leitor Diego postou um comentário no artigo sobre Produto Vetorial pedindo para que fosse demonstrada a igualdade (u^v)^w = -(v.w)u+(u.w)v, onde u, v e w são vetores. Essa igualdade é um dos principais pilares do duplo produto vetorial e como sua demonstração é um pouco complexa, resolvi responder na forma de post. Durante minhas pesquisas, descobri que há poucas demonstrações desse teorema na Internet em Português e algumas demonstrações em Inglês são difíceis de compreender. Apresento-lhes, pois, uma demonstração adaptada do livro Geometria Analítica, um tratamento vetorial de Paulo Boulos, edição 2005.

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O leitor Diego postou um comentário no artigo sobre Produto Vetorial pedindo para que fosse demonstrada a igualdade (u^v)^w = -(v.w)u+(u.w)v, onde u, v e w são vetores. Essa igualdade é um dos principais pilares do duplo produto vetorial e como sua demonstração é um pouco complexa, resolvi responder na forma de post. Durante minhas pesquisas, descobri que há poucas demonstrações desse teorema na Internet em Português e algumas demonstrações em Inglês são difíceis de compreender. Apresento-lhes, pois, uma demonstração adaptada do livro Geometria Analítica, um tratamento vetorial de Paulo Boulos, edição 2005.

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A equação do plano é muito similar à da reta, com a única diferença de que, ao invés de termos apenas um vetor diretor, temos dois. A equação, pois, é , onde X é um ponto variável do plano, A é um ponto fixo, u e v são os vetores diretores e λ e μ são seus respectivos parâmetros.

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A equação do plano é muito similar à da reta, com a única diferença de que, ao invés de termos apenas um vetor diretor, temos dois. A equação, pois, é , onde X é um ponto variável do plano, A é um ponto fixo, u e v são os vetores diretores e λ e μ são seus respectivos parâmetros.

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Conforme já vimos, se você somar um ponto A com um vetor , você obterá um outro ponto X, que nada mais será do que a translação do ponto A, original, pelo vetor .

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Conforme já vimos, se você somar um ponto A com um vetor , você obterá um outro ponto X, que nada mais será do que a translação do ponto A, original, pelo vetor .

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Chegou o momento de explicar o que é um sistema de coordenadas em E³ mas, desta vez, resolvi explicar em vídeo. Se vocês gostarem, vou fazer mais.

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Chegou o momento de explicar o que é um sistema de coordenadas em E³ mas, desta vez, resolvi explicar em vídeo. Se vocês gostarem, vou fazer mais.

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