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Como calcular raízes quadradas pelo método de Newton-Raphson

Existem várias maneiras para se calcular raízes quadradas, mas uma bastante interessante envolve a utilização do método de Newton-Raphson, que nos permite obter uma raiz com o grau desejado de aproximação.



Na verdade, o método de Newton-Raphson, também conhecido como o método das aproximações sucessivas, é um algoritmo desenvolvido por Isaac Newton e por Joseph Raphson, que tem por objetivo aproximar as raízes de uma função real qualquer, através de aproximações sucessivas e iterativas.


O método pode ser expresso pela fórmula Método de Newton-Raphson, onde x1 é o resultado esperado, x0 é a nossa aproximação, ou um chute, f(x0) é a imagem da nossa função por x0 e f'(x0) é a derivada desta nossa função. Este método pode ser facilmente adaptado para o cálculo de raízes quadradas (e também de outros índices), conforme veremos a seguir.


Seja n um número Real o qual desejamos obter a raiz quadrada. Sem dificuldades, podemos expressar a raiz de n como a raiz positiva da função f(x) = x2 - n (lembre-se de que, por definição, a raiz quadrada de um número Real sempre é um número positivo). Derivando-se essa função, temos f'(x) = 2x. Substituindo essa expressão na fórmula do método de Newton-Raphson, temos que Método de Newton Raphson para a raiz quadrada.


Realizando-se algumas manipulações algébricas básicas, obtemos a expressão Versão simplificada do método de Newton-Raphson, onde x1 é a nossa resposta, x0 é o nosso "chute" e n é o valor cuja raiz que queremos descobrir.


Após aplicarmos esse método com um "chute" x0, obteremos um valor x1. Esse valor não será o valor da raiz, mas algo bem próximo a ele. Uma vez obtido, repetimos o procedimento, substituindo nosso chute por x1, ou seja, calculamos Segunda interação do método de Newton-Raphson e obteremos x2, que será um valor mais próximo da raiz que desejamos obter. Após, repetimos o procedimento para obter x3 e assim sucessivamente até termos a precisão desejada.


Cabe notar que é fácil utilizar-se este método para calcular raízes de outros índices, bastando substituir o denominador do coeficiente que multiplica a expressão entre parênteses pelo índice desejado. Um professor de Ensino Médio poderia ensinar esse método aos seus alunos, suprimindo, evidentemente, a parte relativa a derivadas.

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