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O Triângulo de Pascal e as expansões binomiais

Um dos assuntos mais cabulosos para os estudantes do Ensino Médio é, sem dúvida, o triângulo de Pascal. Entender sua construção e propriedades, no entanto, ajudará em muito o aluno na hora de resolver vários exercícios, principalmente relacionados a expandir polinônios.



O Triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais. Sem utilizar noções de Combinatória, podemos construí-lo da seguinte forma:




  1. Os números das extremidades são sempre 1;

  2. A soma de dois elementos de cada linha é igual ao número de baixo (relação de Stiefel)

  3. Cada linha possui um elemento a mais do que a anterior.


A animação abaixo ilustra como o triângulo pode ser construído, destacando, também, os números binomiais:


Construção do Triângulo de Pascal. Fonte: http://www.uff.br/cdme/pascal/pascal-html/html_img/gif_stifel.gif


O Triângulo de Pascal apresenta diversas propriedades interessantes. Por exemplo: a soma dos elementos de cada uma das linhas é uma potência de dois:


A soma dos números de uma linha é uma potência de dois. Fote: https://www.google.com.br/search?q=triangulo+pascal+soma&client=firefox-b&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwinhLifpvHRAhWMlJAKHemyCvcQ_AUICCgB&biw=1366&bih=659#imgrc=6dnpQg_2xqDIzM:


Para ver uma lista de diversas dessas propriedades, visite esta página.


Mas uma das principais utilidades do Triângulo de Pascal é, sem dúvidas, a expansão de polinômios. Caso você não tenha percebido, os elementos de cada uma das linhas do triângulo são os coeficientes da expansão de (a+b)n em alguma potência. Por exemplo: a expansão de (a+b)2 é a2 + 2ab + b2. Se você prestar atenção, verá que os coeficientes dessa expansão são 1, que multiplica o a2, 2, que multiplica ab e 1, que multiplica b2. Esses são exatamente os valores da terceira linha do triângulo, que corresponde à potência 22. Perceba, ainda, que os expoentes de a decrescem de 2 até 0 e os de b crescem de 0 até 2.


Em termos gerais, podemos representar a expansão de um polinômio como [latex size=0 color=000000 background=ffffff](a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k[/latex]. Perceba que a soma dos expoentes de a e de b é igual ao expoente da expansão solicitada. Mais ainda, podemos encontrar um termo específico T como Fórmula do termo da expansão binomial., em que k é a posição desejada.


Logo, se algum exercício pedir para você escrever, por exemplo, a expansão de (a+b)10, não é necessário ficar fazendo várias multiplicações polinomiais, o que demoraria muito tempo e teria uma alta chance de dar errado: basta escrever o Triângulo de Pascal até a décima linha para determinar os coeficientes e acompanhá-los das potências de a e de b correspondentes. Se, no entanto, for solicitado qual o coeficiente do sétimo termo da expansão de (a+b)20, fazemos Sétimo termo.

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