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Equações diferenciais

Uma equação diferencial nada mais é do que uma equação que contém derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes. Elas possuem uma grande importância em nosso mundo, pois são utilizadas por cientistas para modelar o comportamento de fenômeno físicos, químicos, sociais e causados pelo homem.



Se, em uma equação "comum", como [latex size=0 color=000000 background=ffffff]x^2 - 9 = 0[/latex], queremos encontrar quais são os números Reais que tornam a igualdade verdadeira (neste caso, -3 e 3), em uma equação diferencial desejamos descobrir alguma função [latex size=0 color=000000 background=ffffff]y = theta (x)[/latex] que tornam a expressão verdadeira.


As Equações Diferenciais podem ser classificadas por diferentes fatores. Abaixo, veremos os principais.



Tipo


Em relação ao tipo de equação, em geral podemos ter Equações Diferenciais Ordinárias, abreviadas como EDO, e Equações Diferenciais Parciais, que chamamos de EDP.


Nas Equações Diferenciais Ordinárias, as derivadas dizem respeito a uma única variável independente. Por exemplo: a equação diferencial [latex size=0 color=000000 background=ffffff]frac{dy}{dx} + 5y = e^x[/latex] é ordinária porque todas as derivadas nela presentes se referem à variável independente x.


Já na equação diferencial [latex size=0 color=000000 background=ffffff]frac{partial^2 u}{partial x^2} - frac{partial^2 u}{partial y^2} = 0[/latex], vemos que uma derivada se refere à variável x e a outra à variável y. Por conta disso, essa equação é classificada como Equação Diferencial Parcial, ou EDP.



Ordem


A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada presente na equação. Como exemplo, a equação diferencial [latex size=0 color=000000 background=ffffff]frac{d^2 y}{dx^2} + 5 left ( frac{dy}{dx} right )^3 -4y = e^x[/latex] é uma equação diferencial ordinária de grau 2, pois a mais alta derivada nela existente é a de segunda ordem.



Linearidade


Uma Equação Diferencial e linear quando possui a forma Equação diferencial linear, onde os [latex size=0 color=000000 background=ffffff]a_{k}(x)[/latex] e [latex size=0 color=000000 background=ffffff]g(x)[/latex] são funções na variável na qual se está derivando, podendo também serem constantes. Por exemplo: [latex size=0 color=000000 background=ffffff]frac{dy}{dx} -3xy = 0[/latex] é uma equação linear, enquanto que [latex size=0 color=000000 background=ffffff]frac{dy}{dx} + cos(3y)y = 0[/latex] não a é, pois cos(3y) é uma função que depende de y, enquanto se está derivando em relação a x.



Forma Normal de uma equação diferencial


Para se colocar uma equação diferencial em sua forma normal, basta isolar a derivada de maior grau. Note que nem sempre esta será uma tarefa fácil.


Por exemplo, a forma normal da equação [latex size=0 color=000000 background=ffffff]2xfrac{dy}{dx} = x + y[/latex] é [latex size=0 color=000000 background=ffffff]frac{dy}{dx} = frac{x+y}{2x}[/latex].

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