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O problema de otimização da cerca

A Matemática possui várias aplicações em nosso dia a dia. Mesmo assim, muitos alunos perguntam, indignados, qual a utilidade de determinados conceitos aprendidos em sala de aula. De fato, muitos professores não sabem dar algum exemplo prático daquilo que ensinam, aumentando ainda mais a distância entre o mundo real e a sala de aula.


Um desses conceitos é a famosa Fórmula de Bháskara, utilizada para obter as raízes de uma equação quadrática. A maioria dos alunos simplesmente não consegue enxergar uma aplicação prática para a mesma no mundo real. Neste post, então, vamos mostrar uma das mais úteis e das mais comuns.



Considere o seguinte problema prático:




Um fazendeiro dispõe de 200 metros de arame e deseja cercar um terreno retangular. De que forma esse terreno deve ser cercado para que o fazendeiro obtenha a maior área possível?



Este é um problema bem realista e comum em áreas como engenharia e urbanismo. Primeiro, vamos analisá-lo: dispomos de 200 metros de cerca. Portanto, precisamos fazer um retângulo com ele. Poderíamos fazer retângulos de várias medidas de base e altura que somassem 200 metros, mas suas áreas seriam diferentes. O que queremos saber é: qual devem ser as medidas da base e da altura de tal forma que a área seja a maior possível.


Chamando-se o comprimento do retângulo de x e a altura de y, facilmente podemos perceber que a área desse retângulo,que é o que queremos saber, é dada por A = x . y. Por outro lado, o perímetro desse retângulo pode ser obtido por P = 2x + 2y. Como o fazendeiro dispõe de 200 metros de cerca, podemos reescrever essa expressão como 200 = 2x + 2y ou, de maneira simplificada, x + y = 100.


Com isso, temos um sistema de duas equações em x e y. Precisamos eliminar uma dessas variáveis, digamos y. Para fazer isso da maneira mais simples possível, vamos "isolá-la" na segunda equação, obtendo y = 100 - x e substituir essa expressão na equação da área. Ficamos com: A = xy -> A = x(100-x) -> A = -x^2 + 100x. Portanto, nossa área é uma função de segundo grau na variável x!


Antes de prosseguirmos, precisamos de fazer algumas considerações a respeito do domínio dessa função área. Primeiro, obviamente sabemos que ela não pode assumir um valor negativo, pois a medida da cerca não é negativa. Segundo, quais medidas ela pode assumir? Considerando-se que x é a medida do comprimento da cerca, nos extremos essa medida pode ser 0 - caso em que a cerca não possui comprimento, mas só altura - ou 100 - caso em que a cerca possui comprimento total (lembre-se de que temos duas bases) e não altura. Em ambos os casos, a área do terreno será zero. Portanto, o domínio dessa função é o intervalo fechado [0, 100].


Se construíssemos um gráfico onde o eixo x representasse a medida do comprimento da cerca e o eixo y representasse a área obtida, teríamos a representação abaixo:


Gráfico da cerca


Com isso, percebemos que os zeros da função - 0 e 100 -, obtidos através da fórmula de Bháskara, representam os valores máximos da função, nos quais a área é zero e que o vértice do gráfico, obtido em x = 50, representa a área máxima que pode ser obtida - neste caso, 2600,5 metros quadrados.


Em Cálculo, podemos atacar esse problema tomando a derivada em x da função área - neste caso, A' = -2x + 100 - e igualando-a a zero. Desenvolvendo-se -2x + 100 = 0, obtemos que x = 50, o que condiz com nossa inspeção anterior. O vértice do gráfico é chamado um ponto de máximo da função. As raízes da função área são chamados de pontos críticos da função.


Portanto, a área máxima é obtida quando construímos um quadrado de lado 50. Esse resultado é geral.


Atualização: Esta atividade do Geogebra Tube, proposta por William Vieira Gonçalves através do Prof. Edigley Alexandre, fornece uma abordagem dinâmica e interativa para o problema exposto neste artigo.

Comentários

  1. Olá, André!

    Que ótima postagem.

    Quando se fala em Fórmula de Bhaskara, muitos alunos já sentem um calafrio. Na verdade, falou em fórmula já é o suficiente para o pavor começar.

    Mostrar o uso de equação em situações práticas é uma das melhores formas de atrair o estudante com um olhar mais consciente e curioso.

    Um abraço!

    PS: Me permita sugerir incorporar a linguagem Latex em seu blog, assim poderá escrever em simbologia matemática em seus artigos.

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