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Afinal, o que são esses tais "números irracionais"?

Um dos assuntos da Matemática que mais causa dificuldade, confusão e espanto nos alunos dos ensinos Fundamental e Médio são os números irracionais. Não raras vezes, os professores se apegam aos livros didáticos e dizem que os irracionais nada mais são do que "números decimais que não podem ser representados em forma de fração" e seu ensino se reduz a operações com radicais do tipo raiz de dois e raiz de cinco. Não apenas tais definições estão totalmente erradas como, também, são uma ofensa à Matemática. Neste post, vamos entender de vez o que são esses tais números e qual foi a sua importância histórica.




Euclides e a famosa Reta Numérica


Um dos primeiros conceitos que os alunos entram em contato nas aulas de Matemática é a famosa reta numérica. Trata-se de uma representação do conjunto dos números Naturais (e, posteriormente, dos Inteiros, dos Racionais...) em uma reta, onde cada número é representado por um ponto (ou traço) e todos estão a uma mesma distância. Resumindo, é isso que vocês estão vendo aí em baixo:


Reta Numérica


O problema da reta numérica se deve a um sábio grego chamado Euclides, que disse que em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. Vamos olhar novamente para a reta numérica dos números inteiros, acima. Há um ponto para representar o zero, um ponto para representar o um, outro para representar o dois e assim por diante. No entanto, como existe um teorema que diz que não há número Natural algum entre n e seu sucessor, é fácil perceber que, entre 0 e 1, por exemplo... não há coisa alguma!


Isso mesmo! Como era de se esperar, não há qualquer número Natural entre 0 e 1: entre esses dois números, existe um enorme vazio que não pode ser preenchido. Por causa disso, a reta numérica não é contínua. Essa questão perturbou muito os antigos matemáticos. E o que os matemáticos fazem quando um conjunto numérico não é suficiente para o que eles precisam? Eles descobrem um conjunto numérico maior!



Os números racionais


A fim de tentar solucionar o problema da continuidade da reta numérica, tentou-se dividir o espaço entre dois números sucessivos e encontrar números que coubesse, ali. Surgiam os números Racionais, conhecidos desde a Grécia e o Egito antigos (embora, talvez, não com esse nome).


Reta racional 1


Assim, tomando o exemplo da representação acima, se eu dividir o espaço entre 0 e 1 em três partes iguais, entre esses números eu terei mais dois pontos: 1/3 e 2/3. Novamente, eu posso pegar o espaço entre 0 e 1/3 e dividi-lo novamente em três partes iguais e assim por diante. Isso se chama régua infinita e nada tem a ver com um alto valor: o objetivo, aqui, é que eu posso obter um número tão preciso quanto eu queira.


Muitos livros didáticos e professores, porém, dizem que o conjunto dos números Racionais é o conjunto das frações. Tal definição, infelizmente, está totalmente errada. Isso ocorre porque, ao afirmar que o conjunto dos números Racionais é o conjunto das frações, estamos violando a Correspondência Biunívoca, inerente a todo conjunto numérico.


Correspondência biunívoca


É fácil de entender: se um conjunto numérico goza da correspondência biunívoca, então ele será representado na reta numérica por um único ponto. Na outra mão, cada ponto na reta numérica representará um único número. Agora, olhe para a imagem acima: onde eu represento 1/4? Ali, do lado do zero. E onde eu represento 2/8? No mesmo lugar de 1/4. E onde eu represento 4/16? Adivinhou: no mesmo lugar de 1/4.


Isso ocorre devido às chamadas frações equivalentes, que são frações diferentes que representam a mesma quantidade. No caso, 2/8 e 4/16 representam a mesma quantidade de 1/4 e, por isso, são representadas no mesmo lugar.


Desta forma, para honrarmos a correspondência biunívoca e provarmos que o conjunto dos números racionais é, de fato, um conjunto numérico, devemos alterar nosso enunciado, dizendo que o conjunto Q é, na verdade, o conjunto de todas as frações equivalentes a uma fração dada. Transformamos, assim, o "conjunto das frações" em um "conjunto das gavetas": no ponto que representa 1/4, estará a gaveta 1/4 e, dentro dela, todas as infinitas frações equivalentes a 1/4 (dizemos que 1/4 é o representante de sua classe de equivalência).



A expansão decimal


Mesmo com os números racionais, ainda havia alguns buracos na reta numérica que insistiam em continuar não sendo tapados. Isso ocorre porque, embora sempre seja possível encontrar um racional entre dois racionais, o conjunto Q é denso em R, ou seja, está todo espalhado na reta.


Para entender esse fato, é melhor partirmos para a famosa expansão decimal dos números racionais, a qual se obtém dividindo-se o numerador pelo denominador. Nesse caso, podem ocorrer três possibilidades:




  • Se o número racional também é um número inteiro, ele "não possui" expansão decimal (na verdade, a expansão decimal de um inteiro é composta de infinitos zeros).

  • Se o número racional é uma fração decimal (ou seja, se o denominador puder ser fatorado apenas em termos de 2 e de 5), ele possui uma expansão decimal finita. Por exemplo: 1/2 = 0,5; 1/20 = 0,05; 3/8 = 0,375.

  • Se o denominador possuir qualquer fator que não seja 2 ou 5, teremos uma expansão decimai infinita e periódica, isto é, a divisão ocorrerá "normalmente" até certo ponto e, a partir de então, o valor encontrado, chamado de período, começará a se repetir. Exemplo: 37/35 = 1.0571428571428... Note que 35 = 7 x 5.


Fica faltando, aí, um tipo especial de número, que são aqueles que possuem uma expansão decimal infinita e aperiódica, ou seja, sua representação decimal possui infinitos dígitos que nunca se repetem em um grupo.


raiz2


A descoberta dos números irracionais causou uma enorme crise na Grécia antiga, onde Pitágoras acreditava que tudo era composto por números - a saber: números naturais e suas frações. Hipasus, um dos discípulos de Pitágoras, descobriu que a diagonal de um quadrado unitário não era comensurável com seu lado, ou seja, não era possível representar a diagonal como uma fração do lado do quadrado. A crise foi tão grande que Pitágoras, tendo suas convicções abaladas, mandou assassinar Hipasus para que essa descoberta permanecesse em segredo.



Então, quem são os números irracionais?


Com isso, podemos ver que os números irracionais são aqueles números que possuem uma expansão decimal infinita e aperiódica. Alguns radicais, como raiz de 2 ou raiz de 5, são irracionais pois representam a diagonal de quadrados que não são comensuráveis com seus lados, mas é um crime reduzir tal conjunto apenas a eles, que representam apenas uma porção mínima dessa conjunto numérico. Outros números irracionais famosos incluem o pi, o número de EUler, o número de ouro, ln 2, entre muitos outros.

Comentários

  1. Jacson Corrêa Germano15 de novembro de 2015 10:14

    São interessantes as observações feitas no texto no tocantes aos números racionais, que não representam apenas um conjunto formado por frações. Além, de ser claro e objetivo. De fácil assimilação. Sou professor e acrescentou aos meus conhecimentos.

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