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Por que deixamos um espaço em branco quando vamos multiplicar?

Um dos pontos que chamou minha atenção durante meu segundo estágio obrigatório é a dificuldade que alguns alunos apresentam em compreender a operação de multiplicação de números Naturais, principalmente se esta envolve a multiplicação de dois fatores maiores do que dez.


Muitos devem saber que a famosa operação de "arme e efetue" ocorre da seguinte maneira:


25x13=325Mas você já parou para se perguntar por que deixamos um espaço em branco na fase da adição?



Isso ocorre porque, nessa conta, estamos usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma e, também, a decomposição de números em dezenas e em unidades. Infelizmente, muitos alunos não compreendem esses conceitos e acabam não os utilizando, levando a respostas absurdas, como: confundir a multiplicação com a soma ou multiplicar apenas as unidades. Pior ainda são alguns professores que mandam os alunos desenharem florzinhas ou coraçõezinhos nos espaços em branco, o que só atrapalha o entendimento do conteúdo.


A explicação correta do porquê deixarmos um espaço em branco envolve o seguinte raciocínio: tomando como exemplo a conta acima, temos 25 X 13 = 325. Se pararmos para analisar, 13 pode ser decomposto em 10 + 3, isto é, 1 dezena e três unidades. Por conseguinte, podemos reescrever 25 X 13 como 25 X (10 + 3).


Utilizando-se a propriedade distributiva  da multiplicação em relação à soma, sabemos que 25 X (10 + 3) = 25 X 10 + 25 X 3. Se você voltar à imagem acima, verá que é exatamente isso que nós fazemos, com uma pequena - porém importante - diferença: aqui, multiplicamos primeiro o 25 pela dezena 10 e, depois, pela unidade 3; lá, primeiro multiplicamos pela unidade e, depois, pela dezena.


A diferença é que, da segunda forma que fizemos, obteremos 250 + 75 e, da segunda, 75 + 250.  Olhe para a conta acima e veja que são exatamente esses os resultados que estão sendo somados, ou seja, o espaço em branco deixado na parte aditiva da conta da multiplicação representa o zero. Mas de onde vem esse zero? Da própria decomposição do fator em unidades, em dezenas, em centenas e no que mais ele tiver.


Talvez isso fique não tão evidente porque, ao fazer o famoso arme e efetue, estamos fazendo a decomposição ao contrário - primeiro a unidade, depois a dezena, depois a centena e assim por diante - e não como faríamos normalmente - indo do maior para o menor. De qualquer forma, é sempre melhor ensinar os alunos da maneira correta do que ficar inventando historinhas que, futuramente, apenas vão atrapalhar o entendimento de outros conteúdos.

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