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Existem infinitos de tamanhos diferentes?

Essa é uma questão que, a princípio, pode surpreender e confundir  os novos estudantes de Matemática, e sua resposta é mais surpreendente ainda. Intuitivamente, o infinito é algo que nunca tem fim. Logo, como é possível que haja infinitos de tamanhos diferentes?



Na verdade, o conceito de infinito variou muito com o tempo. As primeiras tribos humanas na pré-história utilizavam o conceito de infinito, ou de muitos, para denotar uma grande quantidade a qual eles eram incapazes de contar. Geralmente, a contagem se dava da forma "um, dois" e, tudo que vinha depois disso, era chamado de "muitos", tanto que a maioria das traduções de três em vários idiomas - trois, three - mantém os mesmos radicais.


Na Grécia Antiga, Aristóteles considerava haver dois tipos de infinito: o infinito potencial era um conceito gerado pela mente humana para lidar com grandezas muito pequenas ou muito grandes, e o infinito atual trataria de grandezas com dimensões não finitas. Na Idade Média, dominada pela Igreja Católica, Santo Agostinho coloca o infinito como um atributo de Deus, dando origem ao infinito absoluto. Foi apenas no século XVII que surgiu o Cálculo infinitesimal, possibilitando um estudo formal sobre grandezas infinitas.


Pontos infinitos obtido em <https://secure.flickr.com/photos/blprnt/2543655250/sizes/o/in/photostream/>Mas voltando à pergunta inicial: seria possível existirem infinitos de tamanhos diferentes? Com base no exposto acima, enquanto infinito significava apenas uma quantidade incontável, essa resposta era afirmativa. Mas existem outros pontos a se considerar. Um deles é a Geometria.


Dos postulados de Euclides, sabemos que numa reta, bem como fora dela,, existem infinitos pontos. Por outro lado, também sabemos que num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos. Dessa forma, tanto a reta quanto o plano possuem uma quantidade infinita de pontos, mas sabemos que um plano contém infinitas retas. Portanto, obviamente o plano possui mais pontos do que a reta, mas a quantidade de pontos de ambos é infinita. Logo, o infinito de pontos do plano é maior do que o infinito de pontos da reta.


Outro ponto a ser considerado são as definições formais de conjunto finito e de conjunto infinito. Pegando-se o conjunto N dos números Naturais, definimos um segmento de números Naturais como o conjunto In, com n um natural, como o conjunto que possui todos os números Naturais de 1 até n. Dessa forma, I1 = {1}, I2 = (1, 2), I3 = {1, 2, 3} e assim por diante. Um conjunto é considerado finito se houver uma bijeção entre esse conjunto e algum In. Nesse caso, dizemos que n é a cardinalidade daquele conjunto. Por exemplo: A = {a, b, c} é um conjunto finito, pois há uma bijeção entre A e I3, sendo que 3 é o número de elementos, ou a cardinalidade, do conjunto A. Se não houver essa bijeção, dizemos que o conjunto é infinito.


Um conjunto é dito enumerável se houver uma bijeção com ele e com N. O conjunto dos números Reais é um exemplo de conjunto não enumerável.


O infinito também pode ser contra-intuitivo. Por exemplo: seja P o conjunto dos números naturais quadrados perfeitos, isto é, P = {n2, n ∈ N} = {1, 4, 9, 16...}. A primeira vista, alguém poderia supor que o conjunto P é menor do que N, pois vários elementos de N, como 2, 3, 5... não pertencem a P. No entanto, se lembrarmos dos conceitos de conjunto infinito e de enumerável, veremos que há uma bijeção entre N e P (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9 e assim por diante). Logo, por mais contraditório que possa parecer, os dois conjuntos têm o mesmo tamanho.

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