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Sequências monótonas e convergência

Em nosso post anterior sobre sequências, vimos que estas nada mais são do que funções cujo domínio é um conjunto de números inteiros e que, se conhecermos sua lei de formação, podemos representá-la inteiramente através de seu termo geral, sem a necessidade de se escrever alguns de seus elementos.


Em relação a seus termos, uma sequência numérica pode ser:




  • estritamente crescente se a1 < a2 < a3 < ... < an < ...

  • crescente se a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an ≤ ...

  • estritamente decrescente se a1 > a2 > a3 > ... > an > ...

  • decrescente se a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ an ≥ ...


Chamamos a uma sequência crescente ou decrescente de monótona e a uma estritamente crescente ou estritamente decrescente de estritamente monótona.


Para determinarmos se uma sequência é crescente ou decrescente, em um primeiro momento basta olhar para alguns de seus termos. No entanto, existem técnicas mais matematicamente corretas (e precisas) do que nos valer da intuição. A maneira mais simples de fazermos isso é através da diferença ou da divisão de dois termos sucessivos, o que for mais adequado.


A tabela abaixo resume o teste e seus resultados:































TipoDiferençaRazão
Estritamente crescentean+1-an > 0an+1/an > 1
Crescentean+1-an ≥ 0an+1/an ≥ 1
Estritamente decrescentean+1-an < 0an+1/an < 1
Decrescentean+1-an ≤ 0an+1/an ≤ 1

Desta forma, para inferirmos algo sobre o crescimento ou o decrescimento de uma sequência numérica, tudo o que precisamos fazer é diminuir ou dividir um de seus termos pelo termo anterior.


No entanto, algumas sequências apresentam a propriedade de crescimento ou de decrescimento apenas a partir de um determinado termo. Por exemplo: a sequência 2, 3, 8, 1, 0,1, 0,01, 0,001... é estritamente decrescente a partir do quarto termo. Analisando-a como um todo, não podemos dizer que ela é estritamente decrescente., mas podemos dizer que essa propriedade é válida a partir do termo de número 4.


Esse tipo de sequência é muito comum, principalmente se for obtida a partir de dados experimentais.  Formalmente, dizemos que, se ao descartarmos um determinado número finito de termos do início de uma sequência vale certa propriedade, então essa propriedade passa a valer a partir daquele termo que não foi descartado.


Outra aplicação importante dessa definição diz respeito à convergência de uma sequência, que nos diz como ela irá se comportar no infinito. Por exemplo, a sequência 34, -2, 65, 1, 1/2, 1/3, 1/4... comporta-se de maneira idêntica à sequência 1, 1/2, 1/3, 1/4... a partir de seu terceiro elemento. Esta sequência possui um limite igual a zero, portanto, aquela sequência também o terá.


Quando falamos de sequências monótonas, o seguinte teorema nos diz o que pode acontecer com elas em relação ao limite:




Teorema: se uma sequência {an} forcrescente/decrescente a partir de um certo termo,


a) Existe uma constante M, chamada de cota superior/inferior para a sequência tal que todo an é menor ou igual/maior ou igual  para todo n a partir de um certo termo e, assim, a sequência converge para um certo termo L, que é menor ou igual/maior ou igual a M.


ou


b)Não existe cota superior/inferior e, assim, o limite é infinito.



Com isso, vimos que não há divergência causada por oscilação.

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