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Como encontrar a equação do plano tangente a uma superfície?

Uma das maiores preocupações em Cálculo a respeito do gráfico de funções de duas variáveis é a determinação da equação do plano tangente ao gráfico daquela superfície em um determinado ponto.


Plano tangente à superfície


Felizmente, com as ferramentas que possuímos, essa tarefa não é uma das mais difíceis.



Em primeiro lugar, precisamos enxergar o plano como uma equação. Dentre as várias equações do plano que temos disponíveis, uma das mais fáceis é aquela que nos permite determiná-lo através de um ponto e de um vetor normal. Dado um ponto P(x0, y0. z0) e um vetor v = <a, b, c>, a equação do plano π que contém P e é normal a v é π: a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0. O ponto nós já temos - afinal, o problema é determinar o plano tangente à superfície em um determinado ponto. Falta encontrar um vetor normal à mesma.


Felizmente, nosso trabalho não precisará ser hercúleo: o gradiente de uma função de duas ou de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais daquela função em relação às suas variáveis e o mesmo é normal às curvas ou às superfícies de nível. Assim, para determinarmos a equação de um ponto tangente a uma superfície, basta encontrarmos seu gradiente.


Como exemplo, vamos determinar o plano tangente ao gráfico da função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 3. Como sabemos, infelizmente é impossível representar o gráfico de uma função de três ou de mais variáveis porque o número de dimensões necessárias para tal é sempre uma a mais do que o número de variáveis e nós enxergamos em, no máximo, três dimensões. Assim, uma boa estratégia seria inventar uma função cuja superfície de nível fosse a regra representada. De fato, é fácil perceber que a superfície de nível 0 é o próprio gráfico de f.


Partindo desse ponto, obtemos a superfície de nível 0 igualando-se f(x, y, z) a 0, ou seja:




f(x, y, z) = 0


x2 + y2 + z2 - 3 = 0


x2 + y2 + z2 = 3



De onde podemos perceber que a superfície em questão é uma esfera centrada na origem e de raio raiz de 3. Mais ainda, podemos facilmente perceber que o ponto (1, 1, 1) está nessa esfera. Vamos obter o vetor gradiente derivando a função parcialmente em relação a suas variáveis e, a seguir, aplicando-lhe esse ponto:




∇ƒ(x, y, z) = δƒ/δxi + δƒ/δyj + δƒ/δzk


∇ƒ(x, y, z) = <2x, 2y, 2z>

Aplicando-se o vetor ao ponto (1, 1, 1), obtemos o vetor ∇ƒ(x, y, z) = <2, 2, 2>. Agora, combinando esse vetor e o ponto que encontramos na equação ponto-normal de um plano, chegamos a π: 2(x - 1) + 2(y - 1) + 2(z - 1) = 0. Essa é, portanto, a equação do plano tangente à superfície dada passando pelo ponto fornecido.

Comentários

  1. Muito bem explicado, obrigado!

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  2. Parabéns e obrigada !!!!

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  3. André adoro os oculos continua assim. Até me dás sede. Que estilo. Amo a foto. #stylebydré

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  4. Querid@, eu uso óculos porque preciso, não porque quero. Mas obrigado pelo elogio ;)

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