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Como resolver inequações quociente?

Um dos motivos mais comuns de erros em exercícios e em avaliações dos alunos de exercícios e em avaliações de Matemática nos ensino Fundamental, Médio e até mesmo superior se dá devido à resolução de inequações produto e de inequações quociente. Apesar de todas as explicações que damos em sala de aula, na hora da prova eles parecem se esquecer e inventar teorias malucas para resolver uma questão geralmente simples.



Estudante com dúvidas


Para explicar de vez esse cabuloso assunto, vamos resolver a inequação (4x+1)(x-1)<3. Ao resolvermos essa equação, nós estamos perguntando quais valores podemos colocar no lugar do x para que o quociente do primeiro termo tenha um valor menor do que três.


Muitos alunos não resistirão à tentação e "passarão o x - 1 para o outro lado", chegando à expressão 4x + 1 < 3(x - 1). No entanto, essa estratégia está errada porque eu não sei qual é o valor de x. Caso não se lembre, se o meu x for negativo, eu devo inverter o sinal da minha desigualdade: se for >, vira < e se for <, vira >.


Por isso, eu não posso assumir que x tenha determinado valor e ir "passando" o denominador para o outro lado como se eu tivesse uma igualdade. Para resolver essa equação, eu devo encontrar as raízes do numerador e do denominador e depois proceder à análise de sinal da minha inequação.


Em nosso exemplo, porém, temos outro empecilho: o meu quociente é menor do que 3 e nós, simplesmente, não sabemos como resolver inequações menores do que 3. Por isso, a primeira providência a tomar será transformar a equação em algo que seja menor do que zero para que eu possa, assim, proceder à análise do sinal da mesma.


Para tanto, basta adicionarmos -3 a ambos os lados da igualdade e procedermos às operações algébricas usuais, como se segue:


Resolução da equação


Agora sim eu tenho uma inequação que eu sei resolver. Vamos encontrar as raízes do numerador e do denominador.


Para o numerador:


x + 4 < 0


x < -4


Para o denominador:


x - 1 < 0


x < 1


Assim, sabemos que para todo x menor do que -4, o numerador será negativo e, para todo x menor do que 1, o denominador será negativo. Vamos, agora, proceder à análise do sinal. Para isso, devemos representar essas duas informações na reta numérica e, em seguida, utilizar as regras de sinal da multiplicação ou da divisão (em nosso caso) para saber onde nossa desigualdade será menor do que zero.


Análise do sinal da inequação



Pela análise de sinal, vemos que a inequação apenas será menor do que zero se x estiver entre -4 e 1. Há, ainda, outro pequeno detalhe: como não existe divisão por zero, nosso x não pode ser igual a 1, pois isso anularia meu denominador.


Assim, a solução da inequação é o intervalo aberto (-4, 1), pois o primeiro valor tornaria a inequação igual a zero e o outro  deixaria um zero no denominador.


Comentários

  1. Ótima explicação, a melhor que já encontrei. Porém meu problema possui frações nos dois membros da inequação. Tentarei transcrever:

    x+1/2-x < x/3+x

    Neste caso eu poderia adicionar -x/3+x em ambos os lados também?

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  2. Melhor explicação!

    ResponderExcluir
  3. Como é que: ( 4x + 1/x - 1) -3<0 ,

    se transformou em 4x + 1 -3x + 3/x-1 < 0

    ????????????

    ResponderExcluir
  4. Ele fez MMC entre o denominador de uma fração e o denominador da outra. MMC de x-1 e 1 é x-1.

    ResponderExcluir
  5. Como que ficaria a inequação:

    (4/x)-3>(2/x)-7

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