Pular para o conteúdo principal

Introdução à Geometria Espacial

Quando o professor inicia o ensino de Geometria Espacial, ele enfrenta um difícil obstáculo que é a representação gráfica dos sólidos em sala de aula.


Comparação desenhos 2d e 3d

Embora saibamos que, atualmente, dispomos de vários softwares livres e comerciais para visualizar sólidos e construções geométricas espaciais, na maioria das vezes o professor dispõe apenas dos velhos giz e quadro negro para dar sua aua e, é claro, que esses recursos possuem suas limitações.


Quando estamos na Geometria Plana, é relativamente fácil construir as figuras, pois o próprio quadro negro pode ser utilizado como plano. Já quando passamos para o espaço, notamos as dificuldades. Na ilustração acima, por exemplo, a representação de um círculo, à esquerda, não enfrenta maiores problemas; já a representação de um tetraedro, à direita, pode exigir um pouco de esforço mental por parte do aluno.


Por isso, a Geometria Espacial é uma ótima oportunidade de se introduzir, ainda na escola básica, os conceitos axiomáticos da Matemática.



Propriedades iniciais


Reafirmamos, para a Geometria Espacial, os conceitos primitivos de ponto, de reta e de plano. Ainda, em cada plano, consideremos válidas todas as propriedades e teoremas da Geometria Plana pois, assim, não precisaremos provar tudo de novo.


Definamos, agora, os primeiros postulados da Geometria Espacial:


Postulado 1: Por dois pontos distintos do espaço passa uma, e somente uma, reta;
Postulado 2: Dada uma reta no espaço, existem pontos que pertencem a ela e pontos que não pertencem a ela;
Postulado 3: Por três pontos do espaço, não pertencentes a uma mesma reta, passa um, e somente um, plano.
Postulado 4: Dado um plano no espaço, existem pontos que pertencem a ele e pontos que não pertencem a ele.


O Postulado 2 nos diz que o espaço não é uma reta; o postulado 4 nos diz que ele não é um plano e, com isso, concluímos que o espaço possui mais do que 2 dimensões.

Com esses postulados, podemos enunciar nosso primeiro Teorema:

Teorema 1: Se uma reta tem dois de seus pontos (distintos) pertencentes a um mesmo plano, então a reta está contida no plano (em outras palavras, esse teorema nos diz que a reta é "reta", ou seja, ela não se curva ou dá voltas).
Demonstração: Sejam r a reta do enunciado e P, Q os dois pontos distintos de r. Seja α plano contendo P e Q. A mostrar: r ⊆α.
Note que α é um plano, logo a Geometria Plana vale em α. Assim, como P, Q ∈ α, ∃! s reta passando por P e Q em α.
Pelo Postulado 1, deve valer que r = s. Como s ⊆ α, segue que r ⊆ α.



Posições relativas entre reta e plano


Dados uma reta r e um plano α, existem apenas três posições relativas possíveis entre eles:

1) r ∩ α = ∅ ( r é paralela a α)
2) r ∩ α = {P} (r “fura” α), r é secante a α)
3) r ∩ α = {P, Q} ⇒ (T1) r ∩ α ⊇ r ⇔ α ⊇ r ⇒ r ∩ α = r.

O próximo postulado nos diz que o espaço não é muito espaçoso:

Postulado 5: Se dois planos α e β se interseccionam em um ponto P, então eles possuem outro ponto em comum (e, daí, pelo Teorema 1, eles possuem uma reta inteira em comum).



Posições relativas entre planos


Graças ao Postulado 5, existem apenas duas posições relativas entre planos:

1) α ∩ β = r reta;

2) α é paralelo a β ⇒ α ∩ β = ∅ ou α ∩ β = α = β.

Demonstração:

- Se α ∩ β = ∅, os planos são paralelos e não coincidentes.

- Se α ∩ β ≠ ∅, então ∃ P no espaço tal que P ∈ α ∩ β. Pelo Postulado 5, existe Q ≠ P tal que Q ∈ α ∩ β. Se r é a reta que passa por P e Q, o Teorema 1 garante que r ⊆ α e r ⊆ β pois P, Q ∈ α e P, Q ∈ β. Daí, r ⊆ α ∩ β.

Então, é possível que α ∩ β = r.

Seja T ∈ α tal que T ∉ r (tal T existe pela Geometria Plana). Se T ∈ β, concluímos que β = α, pois pelo Postulado 3, dados três pontos não colineares, o plano que passa por eles é único. Finalmente, se T ∉ β , α ∩ β = r)

Comentários

Postagens mais visitadas deste blog

Como acessar configurações avançadas no Sagemcom F@st 2704N

NOVO TUTORIAL: GUIA DEFINITIVO DAS CONFIGURAÇÕES AVANÇADAS DO SAGEMCOM F@ST 2704N!
Atualização 23/01/2015: Alguns problemas apontados e descobertos nesse modem:
1. Alguns usuários relatam dificuldade em salvar alterações na configuração ADSL;
2. Não sei como acessar os logs do modem; mesmo habilitando, eles não aparecem;
3. Se você trocar o DNS do modem, ele voltará ao da Oi ao ser reiniciado;
4. Estou enfrentando alguns problemas sérios de lentidão. Não sei se isso é relacionado ao modem ou a algum dispositivo na minha rede interna.
-----
Os modens da marca Sagemcom estão se tornando muito populares no Brasil, não, quiçá, por sua qualidade, mas porque eles são os atuais queridinhos das operadoras: quando você assina um plano ADSL, geralmente a operadora envia um modem wireless para sua casa a fim de que você possa navegar sem precisar ter gastos extras com esse equipamento. É claro que os equipamentos fornecidos pelas operadoras são básicos, mas saciam as necessidades dos usuários comuns - …

O Guia Definitivo das configurações avançadas no Sagemcom F@st 2704N

Há alguns meses, eu contei minha experiência com o Sagemcom F@st 2704N e tenho recebido diversos comentários sobre suas configurações avançadas. Agora que minhas aulas na faculdade estão acabando, resolvi reservar um tempinho para explorar melhor esse modem que, diga-se de passagem, é muito bom.