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15 de Abril: aniversário de Leonhard Euler

Google homenageia Euler

 

Na manhã de hoje, o popular site de buscas Google colocou, em sua página inicial, um doodle comemorativo ao aniversário de 306 anos do nascimento do matemático e físico suíço Leonhard Euler, que deu valiosas contribuições para esses dois campos do conhecimento descobrindo, entre outras coisas, a relação entre faces, vértices e arestas de um poliedro e o famoso número que leva seu nome.


Em homenagem a esse dia tão especial, vou publicar aqui uma demonstração do Teorema de Euler  desenvolvida pelo professor Zoroastro Azambuja Filho, que foi publicada na terceira edição da Revista do Professor de Matemática, lá no ano de 1983.



Vamos começar calculando a soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo P. Sejam as faces numeradas de 1 a F e seja nk o gênero da k-ésima face (1 ≤k≤F). Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de gênero n pode ser calculada através de π(n-2). Ora, se um poliedro é convexo, então todas as suas faces são polígonos convexos. Então, podemos obter a soma dos ângulos internos de todas as faces do poliedro através da fórmula S = π(n1-2) + π(n2-2) + ... + π(nk-2). Reorganizando, podemos escrever S = π[(n1+n2+...+nk)-(2+2+...+2)].


Percebemos que, no primeiro parêntese, a soma do número de lados de todas as faces é igual ao dobro do número de arestas e, no segundo, a soma das F parcelas é igual a 2F. Logo, S = π(2A - 2F) =2π(A - F).


Seja r uma reta não paralela a qualquer face de P e seja H plano cuja intersecção com P seja vazia e que seja perpendicular a r. O plano H é o plano horizontal e as retas paralelas a r e perpendiculares a H serão as retas verticais. H divide o espaço em dois semiespaços, um dos quais contém P e que chamaremos de semiespaço superior: seus pontos estarão acima de H.


Imaginemos que o Sol esteja brilhando a pino sobre o semiespaço superior de tal forma que seus raios sejam retas verticais.. Com isso, cada ponto X do semiespaço superior corresponde a um ponto X' em H, o qual chamaremos de sombra de X. A sombra de qualquer conjunto de pontos C contido no semiespaço superior é, portanto, o conjunto C', contido em H, formado pela sombra dos pontos de C.


Seja P' a sombra de P. Cada ponto de P' é a sombra de um ou de dois pontos de P, pois P é convexo. Ora, o contorno de P' é, então, um polígono convexo K', que é a sombra de uma poligonal fechada K, formada pelas arestas de P.


Cada ponto de K' é a sombra de um único ponto em P. A poligonal K é o contorno aparente de P. Cada ponto no interior de P', não pertencente a K', é a sombra de dois pontos de P. Pegando-se dois pontos de P que possuam a mesma sombra, o mais afastado será chamado de ponto iluminado e o mais próximo, o de ponto sombrio.


Calculando-se novamente a sombra dos ângulos das faces de P, notamos que a soma dos ângulos internos de uma face é a mesma que a soma dos ângulos internos de sua sombra.. Seja V1 o número de vértices iluminados, V2 o número de vértices sombrios e V0 o número de vértices do contorno aparente, é fácil perceber que V = V0 + V1 + V2.


A soma das faces iluminadas é um polígono convexo com V0 vértices em seu contorno e V1 pontos interiores. A soma dos ângulos dessa figura é, pois, S1 = 2πV1 + &pi(V0-2). Analogamente, a soma dos ângulos da face sombreada é S2 = 2πV2 + &pi(V0-2). Somando-se S1 com S2, obtemos que S = 2π(V - 2). Igualando-se esse S com o S que havíamos calculado anteriormente, obtemos que V - A + F = 2.

Comentários

  1. Lázaro Luis de Souza5 de abril de 2014 04:56

    Sou Licenciando em Matemática aqui em BH, fiz uma disciplina chamada de História da Matemática. O Leonhard Euler está presente em quase todas as áreas da Matemática. O cara era (ou ainda é) o cara.

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