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Seções cônicas

Dado um cone de folha dupla e um plano secante que não passa pelo vértice do mesmo, chamamos de seções cônicas ou, simplesmente, de cônicas à curva obtida através do corte do cone pelo plano. Dependendo de onde ocorre o corte, a cônica poderá ser classificada como uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola.


Seções CônicasCaso o plano secante passe pelo vértice do cone, teremos uma degeneração, que poderá ser um ponto, uma reta, um par de retas concorrentes ou o conjunto vazio.



Dado um sistema de coordenadas com centro no ponto (h, k), as cônicas acima podem ser assim definidas:



Elipse


Elipse

A elipse é o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias d1 e d2 é uma constante. Sua equação reduzida é (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1, com a² = b² + c² e com 2a > 2c. Os elementos principais são: os dois focos, F1 = (-c, k) e F2 = (c, k), os vértices A1 =(-a, k), A2 = (a, k), B1 = (h, -b) e B2 = (h, b), o eixo maior, representado pelo segmento A1A2, o eixo menor, B1B2 e a excentricidade e = c/a.


excentricidade da elipse é um número que está entre 0 e 1 e mede seu achatamento. Quanto mais próxima a excentricidade for de 1, mais alongada é a elipse. Se a excentricidade for igual a 0, a elipse em questão será um círculo.



Hipérbole


Hipérbole


A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que o módulo da diferença |d1 - d2| é constante. Tem por equação reduzida (x - h)^2/a^2 - (y - k)^2/b^2 = 1, com b² = c² - a² e com 2a < 2c. Note que a equação reduzida da hipérbole é bastante similar à equação da elipse, tendo como diferença o fato de que, na da elipse as duas frações são somadas e, na da hipérbole, subtraídas.


Seus elementos são os vértices V1 = (-a, k) e V2 = (a, k), os focos F1 = (-c, k) e F2 = (c, k), a excentricidade e = c/a e as assíntotas y = -b/a x e y = b/a x.


A excentricidade é um número e > 1 mede a abertura da hipérbole; quanto mais próximo de 1 for e, mais fechada será a hipérbole e quanto maior for, mais aberta ela será.


As assíntotas (uma palavra que, no Grego antigo significa "que não podem coincidir") são suas retas das quais os lugares geométricos da hipérbole se aproximam, mas que nunca são tocadas por estes.



Parábola


Parábola


A parábola é o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a distância de P até um ponto fixo F, chamado de foco, é igual à distância de P até uma reta fixa D, chamada de diretriz. Sua equação reduzida é (y - k)^2 = 4p(x - h). Seus elementos são a reta diretriz D = -p, o foco F = (p, k) e o vértice V = (k, h).



A Equação Geral do Segundo Grau


A equação geral Ax² + By² + Cx + Dy + Exy + F = 0, nas variáveis x e y, representa uma cônica um uma de suas degenerações. Se a equação representar uma cônica e o coeficiente E for diferente de 0, isso significa que a cônica está em um eixo não paralelo aos eixos x ou y.


Para descobrir de qual cônica se trata, devemos transformá-la em uma das equações reduzidas vistas acima. Para isso, primeiro agrupamos os termos semelhantes em x e em y, ou seja, colocamos x² ao lado de x e y² ao lado de y. A seguir, evidenciamos os fatores comuns de cada um desses dois grupos que criamos. Por fim, completamos o quadrado, reescrevemos a equação de forma a deixar o termo independente no segundo membro e simplificamos para deixar o segundo membro igual a 1.


Há, entretanto, um "truque" que pode ser utilizado para identificar a cônica mais facilmente. Em geral, quando a equação possui ambos x² e y² e os dois estão sendo somados, trata-se de uma elipse; quando temos x² e y² sendo subtraídos, temos uma hipérbole; Quando temos x e y² ou x² e y, há uma parábola.  No entanto, é necessária atenção para a correta identificação dos termos da cônica fornecida.


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