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Média, moda e mediana

Em Estatística, Média, Moda e Mediana são o que chamamos de medidas de posição, pois elas nos permitem obter informações sobre a posição de determinados elementos de um conjunto de dados. O ensino de tais medidas, muitas vezes, é superficial. Por isso, é recomendado ler esse post!




Médias


Dada uma lista de números, uma média é um valor que pode substituir todos os elementos dessa lista sem alterar determinada característica da mesma. Tal característica deverá ser determinada através do enunciado ou do contexto do problema que desejamos resolver.


De longe, a média aritmética é a mais conhecida e a mais utilizada, mas ela não é a única existente. Além dela, as mais comuns são a média geométrica e a média harmônica.



Média aritmética


A média aritmética é aquela que nos permite substituir os valores de uma lista de números por uma soma, sendo a mais simples que existe. É dada pela fórmula X = Somatório(xi)/n, a qual indica que dividimos a soma de todos os elementos da lista pelo seu número de elementos.


Exemplo: Uma empresa produziu 500, 200 e 200 unidades de determinado produto em Janeiro, Fevereiro e Março respectivamente. Qual foi a média de produção trimestral?


Resposta: Antes de sair calculando, devemos saber o que está sendo pedido. Neste caso, queremos uma média tal que, se a produção mensal da empresa fosse sempre igual a M, a produção trimestral seria a mesma. Pois bem, a produção trimestral foi de 500 + 200 + 200 = 900 unidades. Se em todos os meses a produção fosse igual a M, a média trimestral seria 3M, assim, 3M = 900, de onde vem que M = 900/3 = 300. Logo, a média procurada é a aritmética.



Média geométrica


A média geométrica conserva o produto dos valores de uma lista e é dada pela fórmula Raiz enésima do produtório de xi, ou seja, a raiz enésima do produtório de xi. O produtório é uma notação, assim como o somatório, que indica a multiplicação de todos os valores envolvidos. Se tivermos dois valores, a raiz que extrairemos será quadrada, se tivermos três, será cúbica e assim por diante. Note que a principal desvantagem da média geométrica em relação à média aritmética é que ela só é determinada para números positivos quando o número de elementos da lista for par. Ou seja, uma lista como -1, 4 não tem média geométrica.


Exemplo: Uma empresa aumentou sua taxa de produção nos meses de Agosto e Setembro em 21% e 8%, respectivamente. Qual foi a média de aumento mensal nesse período?


Resposta: Para não incorrer no erro de dizer que a média foi (21 + 8)/2 = 14,5%, vamos analisar o problema: queremos uma média M tal que, se a taxa de aumento médio mensal fosse sempre M, o aumento bimestral seria o mesmo. Conforme podemos ver pelo cálculo de porcentagem abaixo, o aumento bimestral foi de 30,68%:


100 -> 100 x 1,21 -> 100 x 1,21 x 1,08 = 130,68


Notem que 1,21 corresponde a 100% mais 21%. Seguindo essa lógica, se em todos os meses tivéssemos um aumento M, teríamos:


100 -> 100(1+M) -> 100(1+M)²


Igualando-se os dois resultados, temos que 100(1+M)² = 100 x 1,21 x 1,08, de onde concluímos que desejamos utilizar a média geométrica, obtendo o resultado 14,32%.



Média harmônica


A média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos, sendo calculada através de n dividido pelo somatório de 1 sobre xi. Essa média também apresenta desvantagens sobre a média aritmética, pois o conjunto de dados em questão não pode conter o valor 0.



A desigualdade das médias


Se você pegar uma lista de números qualquer e calcular as médias aritmética, geométrica e harmônica dos elementos da lista, verá que vale a seguinte relação:


Média Aritmética > Média Geométrica > Média Harmônica


É por essa razão que muitos vestibulares utilizam a média harmônica para calcular o escore dos candidatos, evitando uma eventual desvantagem daqueles que simplesmente acertam tudo chutando.



Médias ponderadas


As médias ponderadas são aquelas que possuem pesos, como por exemplo a média de um aluno que fez provas com pesos diferentes. Suas fórmulas são simples e fáceis de lembrar: basta multiplicar as fórmulas acima pelo peso wi. Assim, onde a fórmula tem 1, surge o wi e onde ela tem n, indicando o número de elementos do conjunto, surge o somatório de wi:


Média aritmética ponderada: Somatório de xiwi divivido pelo somatório de wi


Média geométrica ponderada: Raiz com índice somatório de wi do produtório de xi elevado a wi


Média harmônica ponderada: Somatório de wi sidivido pelo somatório de wi sobre xi



Moda


A moda (Mo) é o valor que mais se repete, ou seja, o valor mais provável a ser escolhido. É a única medida de dispersão que pode ter mais de um valor, podendo ser o conjunto amodal, monomodal, bimodal...


Exemplos:


O conjunto de dados 1, 2, 3, 4, 5 não possui moda porque nenhum de seus valores se repete. Neste caso, dizemos que ele é amodal. (Note que, neste caso, alguns autores consideram que todos os elementos do conjunto são a moda).


O conjunto de dados 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6 tem moda 4, pois esse valor repete-se três vezes. Ele é monomodal.


O conjunto de dados 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6 tem moda 2 e 5 pois ambos os valores se repetem duas vezes sendo ele, portanto, bimodal.



Mediana


A mediana (Me) é o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos de mesmo tamanho.


Seja n o número de elementos do conjunto. Se n for ímpar, a posição da Mediana pode ser obtida através de (n + 1)/2. Se n for par, a mediana é a média dos dois valores centrais, cuja posição é calculada por [(n/2) + (n/2 + 1)]/2.


É de extrema importância perceber que, para se calcular corretamente o valor da mediana, os elementos do conjunto devem estar ordenados, isto é, em ordem do menor para o maior. Além disso, cabe perceber que a mediana não precisa, necessariamente, fazer parte do conjunto de dados.


Exemplos:


O conjunto 1, 2, 5, 6, 7 possui um número ímpar de elementos. A posição da mediana é (5 + 1)/2 = 3, logo a mediana é 5.


O conjunto 3, 3, 7, 7 tem um número de elementos par. A mediana é a média entre os elementos centrais 3 e 7, que é 5.

Comentários

  1. olha pra ser cinsera esse site eh uma boosta tah
    objos ;)

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  2. olha eu concordo qe merda em

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  3. iiiiiiii qe droooga isso em bixo

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  4. eu tenho dois carregadores ----'
    haha eu copiei tudo e depois plagiei o site das minhas amigas e xinguei kkkkkkkkkkkk52

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  5. A unica coisa que prestou foi a parte da Moda o resto uma porcaria

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  6. ta bom pra caaaralho

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  7. Eu não achei essa explicação ruim, me ajudou muito na verdade.

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  8. Só tem analfabeto querendo falar de estatística....afff
    Parabéns pela iniciativa!

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  9. Olha, pra ser sincero, o seu português é uma bosta!
    Cada uma que aparece!

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  10. Pra ser SINCERO vc precisa mais estudar gramática do que estatística...

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  11. ESSE PORTUGUÊS É O MELHOR QUE JÁ VI. RISADA, RISADA, GARGALHADA!

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  12. a garota tem um português certinho hahah #sqn

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  13. aiii que burra
    do zero p/ você

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  14. Penso que pessoas igual a vocês que estão se desfazendo das informações encontradas neste site, deviam ser abduzidos por extras terrestres eternamente. Pois não se fica criticando o que não é capaz de fazer! Cadê o site de vocês ajudando a quem precisa? Me passem ai? #idiotas analfabetos Toma no @#@#....
    Muito boa as informações valeu cara!

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  15. Larissa, para se SINCERA, você tem que aprender a escrever corretamente.

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  16. Eu Amei essa explicação serviu muito publique mais coisas se vc poder bjsss :)

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  17. Só acho que si ela não fala certinho não é da sua conta

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  18. E pra ser sincera ela não precisa da sua opinião sua analfabeta

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  19. Me ajudou muito, obrigada!!

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  20. Ñ gostei n ...tudo errado isso ta uma merda ...

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  21. Ñ me ajudou em nada..+ ajudou outras pessoa então n ta tão ruim assim....so tente escrever melhor e primeiro enbtenda o q vc fala depois organize!!

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  22. vão se ferra meu 6 não sabem nem faze um site e qué fala dos outros então seus bostinhas já que vcs sao tao inteligentes pq vieram procuram no site dela ?

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  23. Valeu André, aprendi legal.
    Valeu também pela iniciativa.

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  24. Alguns passam a vida falando de qualquer maneira,entao mostrem o vosso potencial,mas nao,sao os mesmos que fazem o consumo da materia,sejais educados,,,parabens pelo site,,behappy.com

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  25. Estou seguindo a jesus cristo, neste maninho eu não desisto..estou seguindo a jesus cristo,a trás não volto.. não volto não..

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  26. como eu nao sou nenhuma nerd eu nao entedi nada nada nada

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  27. Pra ser "cincero" a Larissa tá "serta"...kkkkkkk

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  28. Tudo q contém é fácil de compreender... Espero encontrar mais para melhorar meus estudos estatísticos!

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  29. Fazem o favor em meu a-mail, material estatístico!

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  30. Valeu André, me ajudou e por coincidência, um colega lá do GdH!

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  31. Muito bom o post. Direto e eficiente. Parabens

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  32. André, muito bom o material, bem objetivo. Pessoas com iniciativa devem ser valorizadas, as demais que não sabem se posicionar, nem para fazerem críticas "construtivas", deveriam ouvir mais, lerem mais para que ao se expressarem, tivessem ao mínimo EDUCAÇÃO! Abraço.

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  33. não menosprezando ninguém,, mas não me ajudou muito, continuei sem intender... se puder explicar melhor eu agradeço....

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  34. Muito explicativo, me ajudou, obrigado.
    Acredito que essas pessoas que estão criticando são totalmente ignorantes ou leigos em matemática a ponto de não entenderem o texto.

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  35. Ruinzao esse site, perdi meu tempo lendo --'

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  36. goxtei da abordagem, dai k facilmente cnsegue tira meu resumo

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  37. a culpa não é do cara que escreve, a culpa é de vcs q são burros mesmo

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  38. alan da silva oliveira11 de dezembro de 2014 05:39

    valeu ai quem escreveu esse poste, apesar de algumas coisas estão sem sentido, outras são muito boa de explicação, obrigado .....

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  39. Olha, pra ser sincera, você precisa rever seus conceitos ta! beijos ;)

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  40. Gostei. Eu penso que é preciso estudar ler sem esse seu celular na mão esquerda. Ou uma coisa ou outra. Ou estamos formando uma geração de jumentos/

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  41. AIEUHAEHIUAEHIHIAEHIUAEEA
    CCCCCCCCINCERAMENTE EM!!!!!!
    KKKKKKKKKKKKKKKKKKK
    Logico que é uma bosta....
    Quando ele fala de moda não é roupa e mediana não é sua qualificação.
    Cara, sinceramente com C foi a primeira vez que eu vi.

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  42. Larissa... com... C... foi dose né gata!

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  43. Muito bom esse site me ajudou muito,mais para os q não tem a capacidade d entender,é uma pena.#sqn# ##muitooo bom msm##

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  44. Foi bem explicado e exemplificado o conteúdo da Estatística, está de parabéns o autor da publicação.

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  45. Me ajudou bastante! Obrigada :)

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  46. Cara, não seja bobo. Não é porque alguém não tem um site de matemática que não pode achar outro ruim. Tem conceitos ERRADOS nessa página. Pode até ajudar, claro, mas está ruim, isso está.

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  47. Olha pra ser sincera, esse seu "português" é uma bosta tá ? beijos !

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  48. Falou tudo!!??✌✌????????!! Se VC tiver face mim chama lá sou Juliana da Silva eu estou com uma blusa rosa sorrindo!!

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  49. o site não é muito bom, mas o seu português é pior ainda. Ta achando ruim crie um site bom você... Bjs Gatta <3

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