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Variáveis aleatórias

Desde seu conceito mais clássico até as mais avançadas aplicações, a probabilidade diz respeito, essencialmente, a valores numéricos. Como é dito nos cursinhos espalhados por aí, a probabilidade de ocorrência de um evento qualquer é o que eu quero sobre o que eu tenho ou, de uma forma mais matematicamente formal, o número de casos favoráveis sobre o número de casos possíveis. No entanto, várias aplicações do mundo real não são numéricas e, para medir suas probabilidades, precisamos nos valer das variáveis aleatórias.



Ao contrário do que o nome possa sugerir, uma variável aleatória é uma função que associa cada elemento ω do espaço amostral Ω a um determinado número real. Através dessa associação é que nós podemos mensurar a probabilidade de ocorrência de determinado evento em uma situação realística.


As variáveis aleatórias podem ser de dois tipos: discretas e contínuas. As variáveis aleatórias discretas são aquelas cuja imagem X(Ω) é um conjunto com um número finito de elementos ou com infinitos elementos que sejam enumeráveis. Já as variáveis aleatórias contínuas são aquelas cuja imagem é um conjunto infinito e não enumerável.


Por exemplo: consideremos a variável aleatória X o número de caras que ocorrem no lançamento de duas moedas. Denotando-se por C as caras e por K as coroas, temos que nosso espaço amostral é Ω = {CC, CK, KC, KK}. No primeiro evento, ocorreram duas caras (CC); no segundo e no terceiro, apenas uma (CK e KC) e, no último, não ocorreu cara alguma (KK). Assim, nossa variável aleatória X(Ω) seria X(Ω) = {0, 1, 2}. Tal variável é discreta, pois sua imagem é um conjunto finito e enumerável. O exemplo de uma variável contínua seria a análise do tempo de reação do organismo a um certo medicamento: neste caso, os valores estariam em um intervalo e não poderíamos listar todos os possíveis.


A distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta X é o conjunto de pares ordenados formados pelos resultados de X e suas respectivas probabilidades. A funçãode probabilidade da variável aleatória discreta X é a função definida por px = {ω ∈ Ω | X(ω) = x}. Um valor qualquer px(x) é maior ou igual a zero e o somatório de todos os valores dessa função é igual a 1. Já a função de distribuição acumulada da variável aleatória discreta X é a função Fx que retorna a soma de todas as probabilidades de uma variável aleatória até um determinado valor. É definida por Fx(x) = {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x}.


A Esperança (ou valor médio) é, quando existe, o número definido por E[X] = ∑ x . px(x). A Moda é, quando existe, qualquer valor que maximiza px. A variância é um valor que mede a dispersão, isto é, o quanto determinado valor está próximo ou afastado da média, e é calculado como Var[X] = ∑ x2 . px (x) - (E[X])2. O desvio padrão é outra forma de calcular a dispersão e é igual à raiz quadrada da variância.

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