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Entenda o que são e como calcular perímetro, área e volume

Um dos assuntos mais importantes não apenas da Matemática mas também de todo nosso cotidiano são as noções de comprimento, de área e de volume. Elas são utilizadas praticamente em todo o tempo e em todo lugar. Por exemplo: quando uma costureira quer colocar um elástico em uma calça, ela precisa saber qual o comprimento do mesmo; quando um pedreiro vai construir uma casa, antes de colocar a mão na massa ele precisa conhecer a área do terreno e, quando um pai vai comprar uma piscina para seus filhos, uma das primeiras informações que ele procura saber é o volume de água que ela comporta.



Matematicamente falando, comprimento, área e volume são a mesma coisa: medidas de espaço. A diferença entre elas está no número de dimensões em que elas se aplicam: quando falamos de comprimento, estamos nos referindo a uma dimensão, a largura; a área se refere à figuras bidimensionais, que possuem largura e comprimento; o volume se aplica quando temos três ou mais dimensões.


Não é difícil compreender a ideia por trás do comprimento ou perímetro: trata-se da medida do contorno da figura. A maneira mais prática de entendê-lo é através de um barbante: utiliza-se o fio para contornar a figura e, a seguir, medimos seu comprimento. A área, por sua vez, representa a quantidade de espaço presente no interior do contorno de uma figura plana.


O grande problema envolvendo a área é que muitos professores - assim como muitos livros didáticos - não estão preparados para explicar seus conceitos de forma intuitiva ao aluno. É comum que os livros do Ensino Médio venham repletos de fórmulas para calcular a área e o volume de vários tipos de figuras planas e de sólidos. Há fórmulas para calcular a área de quadrados, de retângulos, de triângulos equiláteros, de triângulos retângulos, de círculos, de coroas circulares. E há também fórmulas para calcular o volume de prismas de base quadrada, de base hexagonal, de base pentagonal, de pirâmides, de troncos de pirâmides, de esferas, de semiesferas. Uma legião de fórmulas que vem, muitas vezes, acompanhadas de musiquinhas ou de ditados ridículos, sem qualquer demonstração formal, que apenas servem para estressar ainda mais o estudante que está prestes a tentar o vestibular.


Para entendermos de verdade o conceito de área, vamos considerar que temos um quadrado de área desconhecida, a qual desejamos calcular.




[caption id="attachment_803" align="aligncenter" width="306"]Quadrado de área desconhecida Quadrado de área desconhecida[/caption]

Agora, vamos pegar outro quadrado, cujo lado nós sabemos que mede 1 unidade de comprimento. Por convenção, a área desse quadrado é igual a 1 unidade de área.




[caption id="attachment_804" align="aligncenter" width="133"]Quadrado unitário Quadrado unitário[/caption]

Aqui, é importante fazermos outra pausa para esclarecermos a polêmica das unidades de comprimento. Desde as séries iniciais, os alunos são fortemente acostumados a associar medidas de comprimento e de área com o nosso sistema métrico decimal. Além disso, a conversão de unidades é um dos maiores motivos de erro de questões. Assim, quando eu disse que o lado do quadrado media 1 unidade de comprimento, é natural que muitos perguntem se estamos falando de centímetros, de milímetros, de metros ou de quilômetros. Cabe esclarecer aqui, então, que todas essas unidades são totalmente arbitrárias. Quando digo que o lado do quadrado possui 1 unidade de comprimento, essa seria uma unidade que eu determinei. Ela não precisa, necessariamente, corresponder a 1cm ou a 1m. Você, leitor, também pode determinar a unidade que achar mais conveniente e a área de seu quadrado será relativa àquela unidade escolhida.


Continuando, agora que temos um quadrado de área desconhecida e um quadrado unitário que, por convenção, possui área igual a 1, tudo que temos a fazer é descobrir quantos quadrados unitários cabem no quadrado cuja área desejamos descobrir:




[caption id="attachment_805" align="aligncenter" width="307"]Calculando a área do quadrado Calculando a área do quadrado[/caption]

Assim, percebemos que, neste quadrado, cabem 25 quadrados unitários, sendo 5 linhas de 5 quadrados cada. Logo, concluímos que a área de nosso quadrado é de 25 unidades de área. Mais ainda, poderíamos concluir, com base nesse experimento, que a área do quadrado corresponde a l², onde l é a medida do seu lado, ou de quantos quadrados unitários cabem em um de seus lados. Com base nesse raciocínio, podemos calcular a área de outras figuras e chegar às suas famigeradas fórmulas de maneira natural e intuitiva, evitando a tão falada decoreba.


Evidentemente, nem todos os quadrados são "bonitinhos" como esse e vão nos apresentar, de cara, a solução através de quadrados unitários.




[caption id="attachment_806" align="aligncenter" width="227"]Um quadrado cuja área não é um número exato Um quadrado cuja área não é um número exato[/caption]

No exemplo acima, nós preenchemos o quadrado de área desconhecida com nossos quadrados unitários, mas percebemos que eles não são suficientes para ocupar toda a superfície da figura, isto é, sobra um pedaço no qual nosso quadrado unitário não caberia.


Nestes casos, a solução que temos é preencher a figura com quadrados menores. Pegamos nosso quadrado unitário e o dividimos em 10 partes iguais tanto em sua largura quando em seu comprimento. Assim, nosso quadrado unitário passará a ser formado por 10² quadradinhos menores, cada um destes correspondendo a 1/10 da unidade de área. Utilizamos esses novos quadradinhos, então, como nossa nova unidade de referência. Se, mesmo assim, ainda houver partes na figura que não puderem ser preenchidas por esses novos quadrado, pegamos um deles e o dividimos em dez partes iguais na largura e no comprimento tendo, agora, 1/100 de unidade de área. Esse processo repetitivo funciona e é a base do cálculo de integrais.




[caption id="attachment_807" align="aligncenter" width="297"]Cálculo do volume de um sólido Cálculo do volume de um sólido[/caption]

O mesmo raciocínio utilizado acima para a área pode ser aplicado para o cálculo do volume. Neste caso, agora nós elegemos um cubo unitário, cuja aresta meça 1 unidade de comprimento e que, por definição, terá como volume 1 unidade de volume. O volume de um sólido, pois, é obtido ao se descobrir quantos cubos unitários são necessários para preenchê-lo.

Comentários

  1. André,

    Estou espantada com a tua capacidade de realizar novos projectos. Tens iniciativa e fazes os mesmos avançar. Parabéns... continua

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  2. Muito obgd`Parabéns (André Machado) continue assim.......... :D

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  3. parebens continue assim !! ,

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  4. Olá, (André) você ajudou bastante, Obg,continue assim, e n desative sua pagina u-u ela pode ser ''util'' para nós, afinal, já é :')
    Parabéns, .. aposto que n sou só eu que vejo comentarios' Comentarios Otimos . Vlw dnv,até '

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  5. Sanlei Vitória Novais Balbino10 de julho de 2015 03:42

    Esse post não me ajudou muito, mais deu para o começo de um estudo bem aprofundado... André, tenta ser mais detalhado nos posts!

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  6. Sanlei Vitória Novais Balbino10 de julho de 2015 03:47

    Você falou como perceber o perímetro, área e volume mas não disse em que se baseava. Tipo causa, razão ou circunstância de ser assim e não ser de outro jeito. Na prova que irei fazer precisa de justificativa, já que esse site ensina as pessoas como e por que. Tirando esses pontos negativos, você me ajudou muito... :|

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  7. Sanlei Vitória Novais Balbino10 de julho de 2015 03:50

    Esse é o meu comentário, não me julguem por isso, mais é o meu jeito de olhar esse post

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  8. sanlei vitoria novais balbino se vc nao quer q as pessoas te julguem em tao vc nao divia nem ter comentado so de vc te falado de que ele nao justificou direito se nao mim engano ja te bom

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  9. alem disso se e otaria ridicula se vc nao gosta procura outro site

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  10. a gente mim add la no face menos vc burra sanlei q nome e se

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