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Probabilidades e eventos

Pode parecer estranho à primeira vista, mas assim como o metro, o litro, o watt, a probabilidade é uma unidade de medida. Se com o metro medimos o comprimento de algum objeto ou a distância entre dois lugares, com o litro medimos a capacidade de um recepiente e com o watt a potência elétrica de um determinado aparelho, com a probabilidade nós medimos a ocorrência de um evento. Além de ser uma unidade de medida, a probabilidade é uma área da Matemática que estuda os modelos apropriados para fenômenos aleatórios.


Antes, porém, de nos aprofundarmos no assunto Probabilidade, precisamos de fazer algumas definições importantes.



Dizemos que um experimento é qualquer procedimento que nós podemos repetir e que produz resultados em cada uma das repetições. Em relação aos seus resultados, há dois tipos de experimentos: os experimentos determinísticos são aqueles que produzem sempre o mesmo resultado, se repetido sob as mesmas condições; os experimentos aleatórios (ou estocásticos) são aqueles que, se repetidos sob as mesmas condições, não necessariamente apresentarão sempre os mesmos resultados.


Exemplo: o ato de pegar um ovo de galinha e o atirar contra o chão a partir de uma altura de 1 metro em um piso rígido, como uma lajota, sob o exercício de uma força, resultará na quebra do ovo; esse é um experimento determinístico, pois independente do número de vezes que ele for repetido, sempre ocorrerá esse resultado. Já o ato de se jogar um dado honesto e verificar a face que caiu para cima é um experimento aleatório, pois cada jogada poderá resultar em uma face diferente.


Você tem dado em casa? ;)


A probabilidade preocupa-se apenas com os eventos aleatórios. Afinal, se um evento for determinístico, não há ocorrência a se medir: o mesmo resultado vai ocorrer sempre.


Chamamos de espaço amostral de um experimento aleatório ao conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrerem em cada uma de suas repetições. Usualmente, representamos o espaço amostral pela letra grega Ω.


O primeiro passo para se resolver qualquer problema de probabilidade é determinar o espaço amostral. Assim, se o experimento for o lançamento de um dado honesto e a observação da face voltada para cima, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6); Se for o lançamento de uma moeda honesta até o momento em que ocorra Coroa pela primeira vez, Ω = {1, 2, 3, ...}. Perceba que, dependendo de nosso experimento, Ω pode ser um conjunto infinito


Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. O evento pode ser simples se possuir apenas um elemento ou composto se tiver mais de um. Entre os eventos, incluímos o próprio espaço amostral Ω e o conjunto vazio ∅. Dizemos que um determinado evento ocorreu se e somente se o resultado do experimento foi um dos resultados que o compõem.


A cardinalidade do espaço amostral é sempre maior ou igual a 2. Isso se deve ao fato de a probabilidade lidar com eventos aleatórios: se a cardinalidade for zero, significa que o espaço amostral não possui elemento algum e, portanto, não há eventos; se a cardinalidade for igual a 1, isso significa que há apenas um único resultado possível e, portanto, o evento é determinístico.


Por exemplo, voltemos ao experimento de lançar um dado e observar a face que cai voltada para cima. O espaço amostral do experimento, como já visto, é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6). Agora, seja o evento A a ocorrência de uma face par. Temos, assim, que A = {2, 4, 6}.


Jogamos o dado e obtemos o resultado 4. O evento A, então, ocorreu, pois 4 é um dos elementos do subconjunto A. Jogamos novamente e obtemos 7. Dessa vez, A não ocorreu pois 7 não pertence a A.


É importante entender, como já foi dito, que para um evento ocorrer, basta que um dos resultados que o compõem ocorram. Neste exemplo em específico, cada lançamento resultará na ocorrência de apenas uma face voltada para cima. É impossível que, em um único lançamento de um único dado, as faces 2, 4 e 6 apareçam todas voltadas para cima ao mesmo tempo. Basta, então, que apenas uma delas apareça e damos o evento A como ocorrido. Com isso, concluímos que o próprio espaço amostral Ω é um evento (todo conjunto é subconjunto de si mesmo) que sempre ocorre em qualquer experimento.


Dois ou mais eventos são exclusivos quando a ocorrência de um deles exclui a possibilidade de ocorrência dos demais. Tecnicamente, estamos falando de conjuntos disjuntos - isto é, cuja intersecção é vazia - dois a dois. Ainda no exemplo do dado, seja o evento B a ocorrência de uma face ímpar. B = {1, 3, 5}. Percebe-se que os eventos A e B sã0 mutuamente exclusivos, visto que não existem números que sejam, simultaneamente, pares e ímpares.


O evento complementar é aquele formado por todos os elementos do espaço amostral que não pertencem ao evento analisado.Se temos um evento A, denotamos seu evento complementar por AC.


Assim como os conjuntos - pois são deles que estamos tratando! - é possível calcular a união e a intersecção de dois ou de mais eventos. A união de eventos ocorre se, e somente se, pelo menos um dos eventos ocorre. Já a intersecção acontece se, e somente se, todos os eventos ocorrem ao mesmo tempo.


Ainda considerando-se o nosso dado, cujo espaço amostral do experimento face voltada para cima é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, definimos os eventos A = {1, 2} e B = {2, 3, 5}. Em um lançamento, obtivemos a face 3. Com isso, ocorreu o evento A ∪ B mas não A ∩ B. Se, em um segundo lançamento, obtivermos a face 2, terão ocorridos ambos A ∪ B e A ∩ B.


Para o espanto de muitos leitores, não existe uma única definição de probabilidade, pois a mesma depende do contexto em que estamos trabalhando. O conceito axiomático é aquele que estamos acostumados a aprender na escola: ele diz que se há n resultados possíveis, os quais consideramos igualmente prováveis, e k resultados possíveis no evento A, P(A) = k/n.


Infelizmente, não podemos utilizar essa definição sempre. Em alguns casos, utilizamos o conceito frequencial ou empírico, no qual a probabilidade é obtida através da observação da ocorrência de determinados eventos, ou o conceito subjetivo, onde atribuímos a probabilidade de acordo com o que achamos que ela vai ocorrer.

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