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Probabilidade Condicional e eventos independentes

A probabilidade condicional nos permite conhecer quais as chances de ocorrência de um evento A dado que outro evento B já tenha ocorrido.



Para exemplificar melhor, considere que o diretor de uma firma vai sortear um prêmio entre 30 empregados na festa de final de ano da empresa. Cada empregado recebe um número, papéis com esses números são colocados em uma urna e um deles é retirado de lá. Se fôssemos calcular a probabilidade normalmente, as chances de um empregado levar o prêmio seria 1/30, pois há um prêmio para 30 empregados. (Lembre-se que P(A) = Casos Favoráveis/Casos Totais).


No entanto, vamos considerar que o chefe gosta de fazer um suspense: ele tira o número contemplado da urna, olha e anuncia no microfone: "É um número par!". O que aconteceu? Nesse momento, todos os funcionários que possuem um número ímpar caem fora da disputa. Assim, a probabilidade original de 1/30 é modificada.


O exemplo acima é um típico caso de probabilidade condicional. Estamos querendo saber a probabilidade de um evento A ocorrer (o sorteio de um número de 1 a 30) dado que outro evento B já tenha ocorrido (o número em questão é par). Quando lidamos com esse tipo de questão, estamos restingindo o espaço amostral do experimento, conforme você poderá verificar na figura abaixo:


Ao enunciarmos uma probabilidade condicional, estamos restringindo o espaço amostral do experimento.


Assim, para calcularmos a nova probabilidade, devemos levar em conta essa restrição. Logo, calculamos a probabilidade condicional através da formula P(A/B) = P(A inter B)/P(B). Nessa fórmula, fica evidente a restrição do espaço amostral pelo evento que já ocorreu, como pode ser observado no denominador da mesma. Mais ainda, a probabilidade do evento que já ocorreu precisa, necessariamente, ser maior do que zero, caso contrário, não será possível realizar a divisão.


Assim, voltando ao sorteio da firma, o próprio enunciado elucida o algorítmo do problema: no começo, tínhamos todos os números naturais de 1 a 30 concorrendo e, depois da revelação do chefe, apenas os pares continuam na jogada. Bem, P(A ∩ B) corresponde à posibilidade de sair um número de 1 a 30 que seja par; há 15 números pares de 1 a 30, logo esse valor é 1/15. P(B) corresponde à probabilidade do número ser par. De novo, temos 15 números de 30 ou 1/2. Fazendo a divisão, temos que a propabilidade será de 2/15.


Quando aplicamos uma restrição ao espaço amostral, as possibilidades de o evento A ocorrer dado que o evento B tenha ocorrido poderão ou não ser modificadas:




  • Se P(A/B) = P(A) ⇔ P(B/A) = P(B), isso significa que a probabilidade de A não se altera diante da restrição de B e a probabilidade de B não se altera diante da restrição de A. Neste caso, dizemos que A e B são eventos independentes. Neste caso, vale ainda a implicação P(A ∩ B) = P(A) . P(B).

  • Se P(A/B) > P(A) ⇔ P(B/A) > P(B), isso significa que a probabilidade de A ocorrer aumenta uma vez que B tenha ocorrido, assim como a probabilidade de B ocorrer aumenta com a ocorrência de A. Neste caso, A e B são eventos que se favorecem.

  • Se P(A/B) < P(A) ⇔ P(B/A) < P(B), isso significa que a probabilidade de A ocorrer diminui uma vez que B tenha ocorrido, assim como a probabilidade de B ocorrer diminui com a ocorrência de A. Neste caso, A e B são eventos que se desfavorecem.

Comentários

  1. Valeu amigo, me ajudou num problema de ordem cognitiva aqui :))

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  2. nss muito obrigada !!!
    me ajudou bastante valew ai!!

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