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Multiplicadores de Lagrange

Imagine que temos o problema de minimizar ou de maximizar uma função f(x, y, z) - também podendo esta ser uma função de duas variáveis - sujeita a uma restrição g(x, y z) = 0. Para resolvê-lo, nós poderíamos  proceder da maneira tradicional, isto é. resolver a equação de restrição para uma de suas variáveis em termos das outras duas e substituir esse resultado em f. Desta forma, basta utilizar os métodos tradicionais, encontrando os pontos críticos e aplicando o teste da derivada segunda, chegando, assim, ao resultado.


No entanto, essa técnica possui vários inconvenientes, como o fato de devermos ser capazes de resolver a equação g(x) para uma de suas variáveis, o que pode não ser sempre possível - e fácil. Além disso, dependendo das funções em questão, a simples tarefa de substituir a nova equação na primeira certamente demandará em mais cálculos e ajustes que tomarão muito tempo e aumentarão nossas chances de errar.


Felizmente, existem outras formas de se resolver esses problemas e uma delas é através dos multiplicadores de Lagrange.



O Teorema de Lagrange diz que, dada a função objetiva f(x, y, z) sujeita à restrição g(x, y, z) = 0 (ou k, em alguns casos), os pontos de máximo ou de mínimo da função f são as soluções do sistema Sistema de Lagrange, onde λ é chamado de multiplicador de lagrange.


Em muitos casos, λ possui apenas um papel auxiliar na resolução do problema, como no exemplo que vamos resolver abaixo:


Exemplo: Encontre os valores de máximo e de mínimo de f(x,y) =xy, sujeita à restrição x2 + y2 = 25.


Resolução: Primeiro, vamos calcular os gradientes das funções f e g. Fazendo isso, obtemos que Gradiente de f = yi + xj e .


Com isso, chegamos à conclusão de que yi + xj = Lambda(2xi +2yj). Aplicando-se a propriedade distributiva, obtemos que yi + xj = Lambda2xi + Lambda2yj.


Perceba que os vetores i e j estão presentes em ambos os lados da igualdade; assim, podemos montar o seguinte sistema linear:


y = 2Lambdax ; x = 2Lambday ; x^2 + y^2 - 25 = 0


Perceba que "passamos" o 25 para o outro lado, igualando a função de restrição a 0.


De posse desse sistema, vamos igualar λ: na primeira equação, temos que λ = y/2x e, na segunda, que λ = x/2y. Como λ = λ, sabemos que y/2x = x/2y. Daí, chegamos à conclusão de que y2 = x2.


Com o resultado anterior, podemos reescrever a equação de restrição x2 + y2 = 25 como x2 + x2 = 25. Com isso, obtemos que 2x2 = 25 e, portanto, x = ± 5/√2. Esse também é o valor de y, pois y2 = x2.


Com isso, temos como solução os pares ordenados (5/√2, 5/√2), (5/√2, -5/√2), (-5/√2, 5/√2) e (-5/√2, -5/√2). Agora, para cada um desses pares, vamos substituí-los em f(x, y) e pegar os valores máximos e mínimos.


Ora, temos que f(5/√2, 5/√2) = 25/2, f(5/√2, -5/√2) = -25/2, f(-5/√2, 5/√2) = -25/2 e f(-5/√2, -5/√2) = 25/2. Com isso, temos que o mínimo da função é -25/2 e o máximo é 25/2.


Nesse exemplo, tivemos dois pares de valores iguais, mas poderíamos ter quatro valores diferentes. O procedimento, aí, seria o mesmo: calculamos f(x, y) para cada um dos valores e, então, pegamos o menor e o maior.

Comentários

  1. Post muito bom André! Eu procurei vários sites sobre multiplicadores de Lagrange e este foi o MELHOR que eu encontrei. Enfim eu entendi este assunto. Muito obrigado!

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  2. Parabéns, bem explicado.

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  3. muito boa explicação! simples e claro... fico feliz pq acabo de saber que acertei na prova!!...

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  4. Só encontro exercícios muito simples na internet. Meu professor só passou uns complicados que incluem até determinante no meio da confusão toda. Assim é difícil.

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  5. e atraves dessa explicaçao k consegui resolver meus exercicios "thanks
    ,

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  6. Ajudou muito! Exercicio bem detalhado. Obrigado!

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  7. Parabéns André...muito boa a sua explicação, sem complicadores com a gente costuma encontrar na mídia. Espero que vc faça outros exemplos com casos práticos de maximização.
    Obrigado. Célio

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  8. e se acharmos 2 pontos e os dois pontos derem exatamente a msm imagem ? é ponde de maximo ou minimo ?

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  9. Muito boa a explicação, assim fica realmente simples entender o método da Multiplicação de Lagrange, e nada melhor do que aprender através de exemplos práticos.

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