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O que é um vetor?

Os vetores são uma parte importante tanto da Física quanto da Matemática, em especial da Geometria Analítica. No entanto, muitos professores simplesmente não sabem explicar corretamente o que é um vetor. Não raras vezes, eles acabam dizendo que um vetor é "aquela flechinha que fica em cima da letra" e o aluno simplesmente aceita essa informação. Neste post, vou explicar, de uma maneira rápida e fácil, o que é, formalmente, um vetor.

Grandezas escalares vs. Grandezas vetoriais


Antes de falarmos nos vetores em si, é necessário diferenciar o que são grandezas escalares e grandezas vetoriais.

As grandezas escalares são aquelas caracterizadas por um número e sua unidade correspondente como, por exemplo, 5 metros, 2 litros, 10 segundos. Neste caso, o número e a unidade de medida são suficientes para que se possa entender a informação. Se eu disser: "Vá ao supermercado e compre 1kg de açúcar", o ouvinte entenderá completamente a informação e saberá exatamente qual a quantidade de açúcar que deverá adquirir.

Já as grandezas vetoriais necessitam de mais informações do que um número e sua unidade de medida para serem totalmente compreendidas. Para caracterizarmos uma força ou uma velocidade, por exemplo, além do módulo (intensidade, número), precisamos informar, também, sua direção e seu sentido. Assim como não faz sentido dizer "Compre 2 kg de açúcar para cima", também não o faz dizer que uma força tem 2N: eu preciso dizer algo como "2N para cima" para que a informação seja totalmente compreendida.

Flechas e Vetores


Aqui introduzimos o conceito de flecha para representar um vetor. Flecha nada mais é do que um seguimento de reta em que se fixou uma orientação: nós pegamos o seguimento e decidimos que uma de suas extremidades é a origem e a outra é o fim. Ao fixarmos uma orientação, nós escolhemos um sentido para a flecha. Assim, quando dizemos "o segmento AB", estamos dizendo, na verdade, que a flecha que contém os pontos A e B possui um sentido e que A é a origem e B o final da flecha. Assim, essa flecha tem um sentido de A para B. Note que, se eu disser "o segmento BA" eu estarei falando de algo completamente diferente, pois, neste caso, a origem deixará de ser o ponto A e passará a ser o ponto B. A mesma coisa com o final.

Tal flecha ou seta nos dá uma indicação visual da intensidade da força, através de seu comprimento, de sua direção e de seu sentido. Geometricamente falando, dois segmentos quaisquer (A, B) e (C, D) tem o mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD tem o mesmo comprimento. Além disso, se (AB) e (CD) não são nulos, dizemos que eles tem a mesma direção se AB // CD.

Para entendermos o conceito de vetor, vamos combinar que, se duas flechas quaisquer possuem o mesmo tamanho, a mesma direção e o mesmo sentido elas representam a mesma grandeza e aqui está o pulo do gato: será que eu posso dizer que duas flechas que representam a mesma grandeza são iguais?

É claro que não! Se elas fossem iguais, elas deveriam ser a mesma flecha. No entanto, caso elas sejam distintas, mesmo tendo mesma direção, mesma intensidade e mesmo sentido, elas estão em locais diferentes do espaço e, por isso, não podemos dizer que são iguais.

Felizmente, temos outra palavra para definir os segmentos que tem mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade e que não são os mesmos: dizemos que esses segmentos são equipolentes. Assim, dois segmentos orientados (A, B) e (C, D) são equipolentes - e indicamos (A. B) ~ (C, D) - se os dois são nulos ou os dois tem a mesma intensidade, a mesma direção e o mesmo sentido.

Depois disso tudo, o que é um vetor? Vamos supor que um segmento orientado (A, B) represente a intensidade, a direção e o sentido de uma força f. Agora, vamos supor que exista outro segmento, (C, D), que seja equipolente a (A, B). Será que (C, D) também não poderia representar a força f? É claro que sim. Mas, digamos que também exista um segmento (G, H) que seja equipolente a (C, D). Conforme veremos mais adiante, (G, H) também é equipolente a (A, B). Então, qual segmento orientado utilizamos para representar a força f: (A, B), (C, D) ou (G, H)?

Ao invés de escolhermos um, por que não escolhemos todos? Sim, é fácil perceber que poderemos encontrar infinitos segmentos orientados equipolentes a (A, B).

Propriedades da Equipolência


A equipolência goza das seguintes propriedades:

(i) Reflexiva: (A, B) ~ (A, B);

(ii) Simétrica: (A, B) ~ (C, D) [latex]rightarrow{}[/latex] (C, D) ~ (A, B);

(iii) Transitiva: (A, B) ~ (C, D) e (C, D) ~ (E, F) [latex]rightarrow{}[/latex] (A, B) ~ (E, F);

Definição formal de vetor


Chamamos de classe de equipolência de (A, B) a todos os segmentos orientados equipolentes a (A, B) (e, pela propriedade transitiva, entre si). Como, pela propriedade reflexiva, (A, B) é um deles, chamamos (A, B) de um representante da classe.

Assim, um vetor nada mais é do que uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se (A, B) for um representante da classe em questão, representamos o vetor por [latex]overrightarrow{AB}[/latex] ou por letras latinas minúsculas, como [latex]overrightarrow{v}[/latex]. Para representarmos um vetor, basta citarmos ou desenharmos qualquer um de seus representantes.

Comentários

  1. Parabéns pelo artigo.

    Estou no 1° semestre do curso de Engenharia em Sistemas Digitais e esse artigo foi mui útil para sanar minha dúvida.

    Obrigado.

    ResponderExcluir
  2. Amei este artigo, me ajudou muito no meu curso de matemática, estou no 2º período.

    Meus Parabéns!
    Obrigada.

    ResponderExcluir
  3. Gostei muito do artigo. Mas qual a utilidade de se saber álgebra linear em um curso de economia? Onde exatamente iremos utilizar o conceito de vetor? Uma vez que ele representa, como explicado no artigo, uma grandeza que possui intensidade, direção e sentido?

    Obrigada!

    ResponderExcluir
  4. Estou no primeiro semestre de B.I.C.T., e estava meio confuso, este artigo foi muito esclarecedor.
    Obrigado..!
    Deus abençoe..!

    ResponderExcluir

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