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Estruturas algébricas

Uma operação binária, interna e fechada em um conjunto A, não vazio, é uma relação do produto cartediano AxA em A. A operação é binária pois o domínio é o produto cartesiano de dois conjuntos, interna pois os dois conjuntos são iguais e fechada porque a imagem também é o comjunto A.


Uma operação qualquer * em um conjunto A é comutativa se e somente se a * b = b * a para todos a e b pertencentes a A; * é associativa se e somente se a * (b * c) = (a * b) * c para todos a, b, c pertencentes a A; A operação * possui elemento neutro em A se existe um e pertencente a A tal que a * e = a = e * a; possui inverso se e somente se para todo a pertencente a A existe um a' pertencente a A tal que a * a' = e = a' * a.


Dados um conjuto A e uma operação binária e interna *, dizemos que (A, *) é um:





  • Grupóide se e somente se * é fechada em A;

  • Semi-grupo se e somente se * é fechada e associativa;

  • Monóide se e somente se * é fechada, associativa  possui elemento neutro;

  • Grupo se e somente se * é fechada. associativa, possui elemento neutro e inverso em A;

  • Grupo Abeliano (ou comutativo) se e somente se * é fechada, associativa, possui elemento neuto, inverso e a propriedade comutativa.


Já se tivermos duas operações em A, digamos * e #, a trinca (A, *,#) é um:

  • Anel comutativo com unidade se e somente se(A, *) é um grupo abeliano e (A, #) é um monóide comutativo e, ainda, # é comutativa perante *.

  • Domínio se e somente se (A, *, #) é um anel comutativo com unidade e tem a lei cancelativa;

  • Corpo se e somente se(A,  *) e (A, #) são grupos abelianos onde A* = A - {0}  e # é distributiva perante *.


 

se e somente se * é

Comentários

  1. Poderia ter esclarecido mais sobre operação binária aberta ou fechada...
    Mais ajudou bastante!

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  2. e se e somente se * é...

    ResponderExcluir

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