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Divisibilidade em N

A divisibilidade é um assunto muito importante em Aritmética pois, a partir dela, desenvolvem-se outros assuntos, como a divisão euclidiana, o máximo divisor comum e os números primos.

Definição de divisibilidade


Dados [latex]a, b in mathbb{N}[/latex], com [latex]bneq 0[/latex], dizemos que b divide a, ou a é um múltiplo de b, ou ainda que b é um divisor de a se e somente se [latex]exists c in mathbb{N} | a = c . b[/latex]. Representamos a divisibilidade por b|a.

Perceba que o c da equação acima nada mais é do que a solução da equação bx = a. Tal equação pode não ter solução em [latex]mathbb{N}[/latex], mas sempre terá solução em [latex]mathbb{Q}[/latex] ou em [latex]mathbb{R}[/latex]. Como exemplo, podemos citar 3x = 8: em [latex]mathbb{Q}[/latex], a solução da equação é [latex]frac{8}{3}[/latex] mas, em [latex]mathbb{N}[/latex], simplesmente não existe um número que a satisfaça. É por isso que, quando falamos de divisibilidade, apenas consideramos os conjuntos [latex]mathbb{N}[/latex] e [latex]mathbb{Z}[/latex], pois não faz sentido falar do assunto nos demais.

Notemos, ainda, que a divisibilidade nada mais é do que a versão multiplicativa da relação de ordem e, assim, podemos dizer que b sempre será menor ou igual a a.

Destaquemos, ainda, que a solução da equação bx = a é única. De fato, se existissem dois números c1 e c2 que satisfizessem a equação, teríamos que bc1 = a = bc2. Como b é diferente de 0, podemos cancelá-lo e temos c1 = c2.

Por que não é possível dividir por zero?


Uma dúvida que atormenta muitos estudantes é a impossibilidade de se dividir por zero. Esta questão é respondida pela divisibilidade: vamos supor que [latex]b = 0[/latex]; Logo, [latex]bx = 0 forall x in mathbb{N}[/latex]. Logo, a = 0 e a equação tem infinitas soluções.

No entanto, cabe esclarecer que, se a = 0, b = 0 ou c = 0. Em ambos os casos, 0|a. Perceba, então, que 0|a se e somente se a = 0;

Como consequência desta definição, temos que:

[latex](i) forall a in mathbb{N} , 1 mid a[/latex] , visto que a = a . 1 ;

[latex](ii) forall a in mathbb{N}* , a mid a[/latex] pois a = a . 1 ;

[latex](iii) forall a in mathbb{N}* , a mid 0[/latex] pois 0 = a . 0 ;

Propriedades da divisibilidade


Estas propriedades não serão demonstradas, mas o leitor deverá tentar entendê-las e convencer-se de sua validade.

[latex](i) forall a,b in mathbb{N}* , a mid b
[/latex] e [latex]b mid a Rightarrow a = b[/latex] (anti-simétrica)

[latex](ii) forall a,b,c in mathbb{N}* , a mid b
[/latex] e [latex]b mid c Rightarrow a mid c[/latex] (transitiva)

[latex](iii) forall a,b,c in mathbb{N} , a neq 0, a mid b
[/latex] e [latex]a mid c Rightarrow a mid (b . x + c . y) forall x, y in mathbb{N}[/latex]

[latex](iv) forall a,b,c,d in mathbb{N} , a neq 0, c neq 0, a mid b [/latex] e [latex]c mid d Rightarrow a . c mid b . d[/latex]

[latex](v) forall a,b,c, in mathbb{N} , a neq 0[/latex] e [latex]a mid (b + c) Rightarrow [a mid b Leftrightarrow
a mid c ] [/latex]

[latex](vi) forall a,b,c, in mathbb{N} , a neq 0, a mid b, a mid c[/latex] e [latex]c leq b Rightarrow a mid (b - c) ] [/latex]

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