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Construções geométricas com régua e compasso

Desde a época da escola pitagórica, na Grécia antiga, entendia-se como uma construção geométrica pura aquela realizada com traços obtidos da régua e do compasso. No entanto, havia algumas peculiaridades: a régua não poderia ser graduada, isto é, não poderia ter marcações como as réguas centimetradas que são vendidas hoje em qualquer livraria e o compasso apenas poderia ser aberto com suas pontas apoiadas em dois pontos que já tivessem sido previamente construídos, ou em outras palavras, não poderíamos abrir o compasso de forma arbitrária.



Como "regras do jogo", são permitidas três construções básicas:




  1. Traçar reta por dois pontos conhecidos;

  2. Traçar circunferência com o centro e um de seus pontos conhecidos;

  3. Determinar as intersecções de retas ou de circunferências já construídas com outras retas ou circunferências já construídas.


É claro que, no começo, o plano está vazio e, portanto, escolhemos dois pontos quaisquer de forma arbitrária mas, depois disso, apenas podemos seguir as três regras acima. As intersecções das retas ou das circunferências são pontos que, uma vez marcados, passam a ser conhecidos e, portanto, podem ser utilizados.

Estabelecidas as regras acima, não são permitidas construções como:

  • Traçar uma circunferência com raio ou centro arbitrários;

  • Usar uma marcação previamente preparada na régua ou no compasso;

  • Traçar um ponto arbitrário sobre uma reta ou uma circunferência;

  • Deslizar a régua até uma posição qualquer.


A partir das construções básicas, obtems outras construções elementares, que passam a ser construções permitidas. Vejamos um exemplo:

Exemplo 1: Dada uma reta r, traçar um ponto fora dela.

Pelo postulado da determinação, sabemos que dois pontos determinam uma única reta que os contém; assim, seguramente podemos dizer que a reta r possui pelo menos dois pontos conhecidos, os quais vamos chamar de A e B. Seja C1 a circunferência com centro em A passando por B e C2 a circunferência com centro em B passando por A. A intersecção de C1 e de C2 determina dois pontos fora de r.

Exemplo 2: Dada uma reta r  e um ponto P fora dela, traçar uma reta r', perpendicular a r e passando por P.

Dado o ponto P construído da mesma forma que no Exemplo 1, as circunferências de centro A e B passando por P determinam um novo ponto Q. A reta PQ é a procurada.

Indo além, pelo Teorema do Transporte de Segmentos, podemos traçar uma circunferência que tenha como centro um ponto conhecido e como raio o comprimento de qualquer segmento cujos extremos sejam pontos conhecidos. Com isso, podemos construir a reta paralela:

Exemplo 3: Dada uma reta r e um ponto P fora dela, traçar uma reta r' paralela a r passando por P.

Se A e B pertencem a r como nos exemplos anteriores, podemos traçar as circunferências de centro B e P com raios AP e AB, respectivamente, o que determina um ponto Q de tal forma que a reta procurada r' é a reta por P e Q.

Dizemos que um número real é construtível se é a abscissa ou a ordenada de um ponto construtível. Denotamos por C(R) o conjunto dos números reais construtíveis. As regras de construção com régua e compasso nos permitem realizar operações elementares com tais números.

Seja r uma reta, seja O o ponto de r com abscissa 0 e sejama e b dois números construtíveis; sejam A e B dois pontos de r cujas abscissas sejam a e b. Suponhamos, sem perda de generalidade, que b é maior ou igual a a. Então podemos fazer:

Construção do simétrico de a: Traçamos uma circunferência com centro em O passando por A; A intersecção da circunferência com a reta no lado oposto a A será o simétrico de a, denotado por -a (isso só é possível se a é diferente de 0).

Soma a + b: Determinamos um ponto P externo a r (Exemplo 1) e traçamos uma ret r',a paralela a r passando por P. As perpendiculares a r por O e por B determinam pontos O' e B' em r' respectivamente. A reta paralela a O'A passando por B' determina sobre r um ponto cuja abscissa é precisamente a + b, o que mostra que esse número é construtível.

De maneira similar, também podemos mostrar que 1/a e o produto ab e a raiz quadrada de um número a são construtíveis.

No próximo post, vamos ver os problemas clássicos gregos. Até lá!

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