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Como converter coordenadas polares para cartesianas

Junto às coordenadas cartesianas, as coordenadas polares são utilizadas para determinar a posição de pontos e outros objetos no plano. Em determinadas situações, porém, é mais fácil resolver determinados problemas utilizando coordenadas polares do que coordenadas cartesianas. É importante, então, saber como converter uma coordenada que esteja em coordenadas cartesianas para coordenadas polares e vice-versa.



Urso polar


No sistema de coordenadas cartesianas,temos um par de eixos (x, y) que se encontram em um ponto comum chamado Origem do sistema. Para determinarmos as coordenadas de um ponto P, projetamos o ponto sobre os eixos x e y obtendo, assim, sua distância da origem. Isso nos dá uma coordenada única. Dizer queas coordenadas do ponto P são (3, 3) significa dizer que ele está três unidades de comprimento distante da origem no eixo x e três unidades de comprimento distante da origem no eixo y. Assim, uma vez marcados esses valores, simplesmente traçamos retas perpendiculares aos eixos nos pontos especificados e o seu encontro será a localização do ponto procurado.


Já no sistema de coordenadas polares, temos um ponto O, fixo, chamado de pólo ou de origem e um raio que parte do pólo, chamado eixo polar. Nesse sistema, é possível associar cada ponto P do plano a um par de coordenadas polares (r, θ), onde r é a distância de P ao pólo e θ é o ângulo entre o eixo polar  e o raio OP.


Exemplo de coordenada polar


Nós chamamos r de coordenada radial e θ de coordenada angular. Se P for exatamente o pólo, r será 0 e não teremos uma definição clara de quem será θ; Neste caso, dizemos que θ pode assumir qualquer valor.



As coordenadas polares não são únicas!


Outra diferença importante entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares é que as coordenadas polares não são únicas! Por exemplo: as coordenadas (1, -45°) e (1, 315°) representam o mesmo ponto!


Geralmente, seas coordenadas de um ponto P forem (r, θ), então (r, θ + 360° . n) e (r, θ - 360º . n) representam o mesmo ponto P para todo n natural maior do que zero.



Convertendo coordenadas polares para cartesianas


Nós podemos sobrepor o plano cartesiano ao plano polar e tentar estabelecer uma relação entre os dois sistemas. Com base no Teorema de Pitágoras e na Trigonometria, chegaremos à conclusão de que x = r cos θ e y = r sen θ. Para encontrarmos o ângulo θ, dados x e y, basta utilizar a relação  tgθ=y/x.

Comentários

  1. Boa noite, infelizmente as imagens do post estão quebradas

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