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Base de Vetores

Uma base é um conjunto de três vetores não coplanares. Esses vetores, assim, são LI e geram o espaço. A Base de Vetores, então, é utilizada como o sistema de coordenadas de pontos, de retas, de planos e de outros objetos no espaço.


Base formada pelos vetores e1, e2 e e3


Se E=(e1,e2,e3) é uma base de V³, então todo vetor de V³ é gerado pelos vetores de E. Como essa tripla de vetores é única, a conclusão a qual chegamos é que, uma vez escolhida uma base E, a cada vetor [latex]underset{v}{rightarrow}[/latex] fica associada uma única tripla de escalares (a1, a2,a3), a qual podemos chamar de coordenadas do vetor na base E. Logo, se dissermos que as coordenadas do vetor v são (a1, a2, a3) estaremos, na verdade, dizendo que v = a1e1 + a2e2 + a3v3 .




Adição de vetores usando coordenadas


Já sabemos que, para somarmos vetores, podemos utilizar a regra do paralelogramo ou fechar o triângulo. Porém, agora que definimos o que são coordenadas, esta operação fica muito mais fácil: A soma de um vetor v = (a1, a2, a3) com um vetor w = (b1, b2, b3) será o vetor v + w = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3). É importante frisar que, para que a operação possa ser realizada, os vetores v e w devem, necessariamente, estarem na mesma base.



Multiplicação por escalar


Da mesma forma, a multiplicação de um vetor v = (c1, c2, c3) por um escalar α nada mais será do que o vetor αv = (αc1, αc2, αc3).



Dependência Linear


Através de determinantes, podemos provar que dois vetores, v = (c1, c2, c3) e w = (d1, d2, d3) são linearmente dependentes se e somente se c1, c2 e c3 forem proporcionais a d1, d2 e d3, nesta ordem.



Ortogonalidade


Os vetores [latex]underset{u}{rightarrow}[/latex] e [latex]underset{v}{rightarrow}[/latex] serão ortogonais se um deles for o vetor nulo ou se os dois, não nulos, admitirem representantes perpendiculares.



Base ortonormal


Uma base é dita ortonormal se a norma de seus três vetores, e1, e2 e e3 for igual a 1 e estes três vetores forem ortogonais dois a dois (veja a figura que ilustra este post).



Cálculo da norma de um vetor em base ortonormal


Se E é uma base ortonormal e [latex]underset{v}{rightarrow}[/latex] é um vetor nesta base com coordenadas (x, y, z), então a norma de [latex]underset{v}{rightarrow}[/latex] pode ser calculada por ||v|| = Raiz(x^2 + y^2 + z^2) .

Comentários

  1. São os vetores que formam a base que gera o espaço.

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  2. Socoloca Laurindo Jussy18 de janeiro de 2016 04:25

    Como calcular a base e dimensões da imagem e do núcleo?

    ResponderExcluir

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