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Como fazer demonstrações matemáticas

Diferentemente das demais ciências exatas empíricas, como a Química e a Física, a Matemática não obtém suas verdades a pvaartir de experimentações e de testes. Somos, neste ponto, uma das mais exigentes ciências exatas da face da Terra pois, para nós, determinada propriedade somente é aceita como válida ou verdadeira se valer para todos os elementos do conjunto (não necessariamente numérico) ao qual ela se aplica. Se existir um único elemento para o qual aquela propriedade não vale, então toda ela é descartada sem dó ou piedade. Uma situação diferente ocorre na Química, por exemplo, onde se diz que os ametais não conduzem eletricidade. Ora, o Carbono é um ametal e conduz eletricidade. Os químicos, então, dizem que o Carbono é uma exceção mas, para nós, matemáticos, essa "desculpa" não vale.



Para provar que determinada propriedade ou regra vale para um conjunto, precisamos mostrar que ela vale para todos os seus elementos; para mostrar que ela não vale, basta encontrarmos um elemento daquele conjunto para o qual a propriedade não se aplica. Chamamos a esse elemento de contra-exemplo.


Quando falamos de conjuntos com um número finito de elementos, é aceitável, embora talvez trabalhoso, testar cada um dos elementos para verificar se algum deles revela-se um contra-exemplo, mas quando falamos de conjuntos com uma cardinalidade infinita, como os conjuntos numéricos, tal procedimento torna-se simplesmente impossível. Esta é a principal fonte de erros dos estudantes que estão ingressando no Ensino Superior. Sabemos que, em nosso país, a escola básica não possui a cultura da demonstração, sendo que, na maioria das vezes, aulas de matemática ou de física resumem-se em simplesmente enunciar fórmulas prontas e dar alguns exemplos. Ao chegarem na academia e se depararem com a necessidade de demonstrar, muitos estudantes argumentam que tal afirmação é verdadeira porque vale para determinado(s) valor(es), mas isso não é demonstrar! Leia os parágrafos anteriores e entenda que, para algo ser aceito como verdade matemática, ele deve valer para absolutamente todos os elementos de um conjunto. Testar vários elementos de um conjunto infinito não é aceito como demonstração.


Uma proposição é uma afirmação lógica que pode assumir um valor verdadeiro ou falso. Por exemplo: "Pelé é jogador de futebol" é uma proposição verdadeira, já "As abelhas são mamíferos" é uma proposição falsa. Em nossas demonstrações, tendo duas proposições A e B, geralmente tentamos provar que A implica B, ou seja, se A é verdade isso significa que, necessariamente, B é verdade. A esse tipo de p´roposição, chamamos de proposição enunciada como implicação.


Quando uma proposição é enunciada mas não pode ser, ainda, provada, ela é chamada de conjectura e seria como um palpite em relação a determinado assunto. Muitas conjecturas famosas, como a Conjectura de Goldbach, permanecem em aberto até hoje. Quando, enfim, fornece-se uma prova formal que atesta a validade da conjectura, esta ganha o status de teorema e passa, então, a poder ser utilizada em outras demonstrações.


A primeira e mais natural técnica de demonstração é a demonstração direta, que consiste em dupor que a primeira proposição A é verdadeira e, a partir disso, com base em  um encadeamento de inferências lógicas, nos permitirá concluir que a segunda proposição, B, também é verdadeira.


Por exemplo: provemos que a soma de dois números inteiros pares sempre é um número par. Sejam x, y pertencentes a Z, ambos pares. Logo, podemos escrever x = 2m e y = 2n para apropriados m e n pertencentes a Z. Segue que x + y = 2m + 2n = 2(m + n), que é o dobro de um inteiro e, logo, é um número par e, portanto, a afirmação é verdadeira.


Embora a demonstração direta seja a mais natural, nem sempre é possível ou fácil utilizá-la. Felizmente, existem outras técnicas, como a demonstração por contraposição, a qual diz que, se A implica B, então Não B implica Não A. Ou seja, partimos do pressuposto que a negação de B é verdadeira e chegamos à conclusão de que a negação de A é verdadeira.


Por exemplo, vamos supor que, se x2 é impar, então x é impar. É difícil provar isso diretamente, então, vamos para a forma contrapositiva: se x é par, x2 é par. De fato, se x é par, x = 2n, logo x2 = 4n2 = 2(2n2), ou seja, um número par.


Além dessas duas, existe a demonstração por absurdo, que é a mais "emocionante" e perigosa. Na demonstração por absurdo, supomos que determinada afirmação é verdadeira, desenvolvemos a lógica em cima dessa afirmação e chegamos a uma situação matematicamente impossível, a qual apenas poderá ser solicionada com a afirmação de que a afirmação inicial era falsa. A técnica é perigosa porque não podemos prever onde, quando ou como vai ocorrer o absurdo, o que pode acarretar de o mesmo passar batido.


Por exemplo, afirmamos que existe um número real que verifica x2 + 1 = 0. Por absurdo, suponhamos que x exista. Então, temos que x2 = -1, o que é um absurdo, pois não existe raiz quadrada de números negativos, logo concluimos que não existe x real que verifica a equação dada.


Existem outras técnicas de demonstração, como a demonstração por indução, que serão abordadas em outro post. Até lá!

Comentários

  1. Ficou devendo o post da indução :D

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  2. Vai mostra a de indução ainda André?

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  3. não seria indução uma demonstração direta também?

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