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Espaços e subespaços vetoriais

Um espaço vetorial é um conjunto V não vazio cujos elementos são chamados de vetores. Esse conjunto possui as operações de soma e de multiplicação definidas sobre seus elementos, sendo que tais operações estão sujeitos aos dez axiomas enumerados abaixo:


∀ u, v, w ∈ V, c, d ∈ ℜ




  1. A soma de u e v, denotada por u + v, , está em V

  2. A soma é comutativa, ou seja, u + v = v + u;

  3. A soma é associativa, isto é, (u + v) + w = u + (v + w);

  4. Há um vetor nulo 0 que é elemento neutro da soma;

  5. ∀ v ∈ V ∃ -v tq v + (-v) = 0;

  6. O múltiplo escalar cv pertence a V;

  7. A multiplicação por escalar é distributiva perante a adição, ou seja, c(v + w) = cv + cw;

  8. A adição é distributiva perante a multiplicação, isto é, (c + d)v = cv + dv;

  9. c(dv) = (cd)v;

  10. 1v = v.


Para provarmos que determinado conjunto é um espaço vetorial, é necessário provar que valem todos esses axiomas. Além dos próprios vetores, os polinômios e as matrizes são exemplos de espaços vetoriais.

Um subespaço vetorial é qualquer conjunto W que satisfaça as seguintes propriedades:

  1. 0 ∈ W;

  2. Para todos u e v pertencentes a W, a soma u + w também pertence a W;

  3. Para cada v pertencente a W e para cada escalar c real, cv pertence a w.


Uma reta r que passa pela origem de um sistema cartesiano é um exemplo de subespaço vetorial.

Comentários

  1. Olá!

    Quanto à definição de subespaço vetorial, pessoalmente, eu prefiro dizer simplesmente que um subconjunto $latex E subset V$ onde a restrição das operações de soma de vetores e produto por escalar forma um espaço vetorial.

    Deve-se notar que nem sempre se pode restringir essas operações a um subconjunto arbitrário. De fato, sempre podemos restringir o domínio de $latex +: V times V ro V$ a $latex +: E times E to V$, mas nem sempre podemos restringir também o contra domínio das operações de soma vetorial e produto por escalar.

    Poder restringir as operações é exatamente o conteúdo dos itens 2 e 3 da definição. A princípio, para garantir que esse subconjunto dotado da restrição das operações forma de fato um espaço vetorial. Os itens 1-3, 6-10 da definição são automáticamente satisfeitos pelo simples fato de as operações serem restrições das operações em $latex V$, e as operações em $latex V$ já os satisfazem.

    No entanto, precisamos saber se os itens 4 e 5 são satisfeitos. Ou seja, se $latex 0 in E$, e se $latex v in E Rightarrow -v in E$. Para o item 5, se $latex v in E$, então $-v = (-1)v in E$.

    Agora, para o item 4, se supusermos que $latex E neq emptyset$, então, tomando $latex v in E$ temos que $latex 0 = (0)v in E$. Ou, alternativamente, usando $latex -v$ que já sabemos pertencer a $latex E$, temos que $latex 0 = v +(-v) in E$. Ou seja, para provarmos o item 4 da definição, precisamos assumir que $latex E neq emptyset$, o que neste contexto é equivalente a $latex 0 in E$.

    Assim, um subespaço vetorial é um subconjunto $latex E$ NÃO VAZIO (item 1 da definição) onde as operações podem ser restritas a $latex E$ (itens 2 e 3 da definição).

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  2. Puxa, desculpe, não consegui colocar o comentário em latex... :-(

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  3. duvida sobre espaço vetorial

    1) Sejam V um espaço vetorial sobre R e W1, W2 subespaços de V. Mostre que W1 ∪ W2 é um subespaços de V se, e somente se W1 ⊂ W2 ou W2 ⊂ W1

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