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Derivadas parciais

Já vimos que a derivada é o coeficiente de inclinação da reta tangente ao gráfico da função f(x) em um ponto dado e que ela é associada à ideia de taxa de variação. Agora, faz sentido perguntar como poderíamos calcular a derivada de uma função com duas - ou mais - variáveis. A resposta à nossa pergunta surge na forma de derivadas parciais.



Em uma função de duas variáveis f(x, y), a princípio temos um "problema" porque ambas as variáveis variam ao mesmo tempo e, dessa forma, não sabemos como calcular a derivada. Uma estratégia interessante para contornar esse "problema" seria calcularmos a taxa de variação de uma delas enquanto a outra permanece fixa.


Por exemplo: considere a fórmula da área de um retângulo escrita como uma função A(x, y) = xy, onde x é o comprimento e y é a altura. Desta forma, um matemático poderia estudar a taxa de variação do comprimento se a altura for mantida fixa ou na taxa de variação da altura se o comprimento não variar. Em outras palavras, vamos supor que, no primeiro caso, a altura seja mantida fixa em y =5 unidades de comprimento. Dessa forma, temos que A(x, 5) é uma função de apenas uma variável e, portanto, podemos calcular a derivada d/dx A(x, 5) normalmente como fazíamos até agora.


De uma forma mais geral, se f(x, y) é uma função diferenciável e (x0, y0) for um ponto no domínio dessa função, a derivada parcial de f em relação a x é a derivada em (x0, y0) é a derivada em x0 da função que resulta quando y = y0 e permitimos que x varie. Nós denotamos essa derivada por ƒx(x0, y0) e a calculamos através do limite


Fórmula da derivada parcial


Uma definição análoga pode ser feita para a variável y com as devidas modificações.


Em outras palavras, para calcularmos a derivada parcial de uma função com duas (ou mais) variáveis, devemos escolher uma das variáveis para calcularmos a derivada e tratarmos as demais como se fossem constantes.


Como exemplo, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = 2x3y2 + 2y + 4x em relação a x e, depois, em relação a y. Como queremos calculá-la em relação a x, vamos considerar x a nossa variável e tudo que não for x será considerado constante (ou seja: como se fosse um número). Como a derivada da soma é a soma das derivadas, a parcial desse polinômio em relação a x é ƒx(x, y) = 6x2y2 + 4. Por quê? Ora, no primeiro termo nós temos 2x3y2 e, através das regras de derivação, a derivada de x3 é 3x2. Multiplicando-se o 3 pelo 2 que já estava na expressão, obtemos 6x2. Como o y2 é considerado uma constante, nós simplesmente o mantemos ali (pense que ele é um número que está multiplicando o 6, mas que não está ao lado dele).


A segunda parcela contém o termo 2y. Como estamos derivando parcialmente em relação a x, o y é considerado uma constante, logo o 2 está multiplicando essa constante e, portanto, essa parcela seria como se fosse um número. Como sabemos, a derivada de uma constante é 0 e, por isso, essa parcela desaparece na derivação.


A última parcela, 4x, se transforma em 4 porque a derivada de x é 1.


Por uma explicação totalmente análoga, ƒy(x, y) = 4x3y + 2. Tente visualizar a sequência que desenvolvemos acima nesse resultado. Como regra geral, podemos enunciar que as constantes multiplicativas permanecem inalteradas e as constantes aditivas desaparecem.


Se quiséssemos calcular um valor para a derivada parcial, como por exemplo ƒx(1, 2), bastaria calcular ƒx e, em seguida, substituir x e y do resultado encontrado pelos seus respectivos valores.



Outras notações para a derivada parcial


Assim como a derivada "comum", existem notações alternativas para as derivadas parciais. A primeira forma, como vimos acima, consiste em utilizar-se o ƒ de função com a variável para a qual estamos derivando em subscrito. Dessa forma, ƒx indica a derivada parcial de f em relação a x e ƒy a derivada parcial de f em relação a y.


Também é possível representar as derivadas parciais em forma de quociente: se z = f(x, y), temos que df/dx ou dz/dx representam a derivada parcial de f (ou de z) em relação a x e df/dy ou dz/dyrepresentam a derivada parciel de f (ou de z) em relação a y.



Derivadas parciais de ordens superiores


Também como as derivadas "comuns", é possível calcular derivadas parciais de segunda ordem, de terceira ordem ou de demais ordens superiores. Como você já deve imaginar, elas são derivadas parciais das derivadas parciais, mas aqui existe um importante detalhe: como temos mais de uma variável, precisamos de calcular as parciais de ordem superior para todas as variáveis possíveis!


Por exemplo, se temos uma função f(x, y), calculamos quatro derivadas parciais, a saber: d2f/dx2 = fxx = d/dx(df/dx), que obtemos ao derivar a função duas vezes em relação a x, d2f/dy2 = fyy = d/dy(df/dy), encontrada quando derivamos duas vezes em relação a y, d2f/dydx = fxy = d/dy(df/dx), obtida ao derivarmos primeiro em relação a x e, depois, em relação a y e d2f/dxdy = fyx = d/dx(df/dy), obtida ao derivarmos primeiro em relação a y e, depois, em relação a x.


As duas últimas derivadas mostradas acima são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem mistas e elas são iguais em funções contínuas, como é o caso dos polinômios.

Comentários

  1. Acho bacana você falar sobre derivadas direcionais...

    Se v é um vetor, então podemos pensar na função g(t) = f(v_0 + t v). A derivada de g em 0 é a derivada de f em v_0 na direção v.

    Neste caso, as derivadas parciais são as derivadas nas direções (1,0) e (0,1).

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  2. Oops!!
    Agora é que eu vi que você tem um post sobre derivadas direcionais. :-)

    Vou dar uma lida lá, pra ver se tem algo pra eu implicar... ;-)

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  3. Constantino Bombo Tonho28 de março de 2014 00:54

    Gostei e adorei saber mais sobre derivadas..... foi incrível ter entendido a Derivada parcial mas valeu mesmo..............

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  4. adorei bastante e gostaria contribuir na resolução de certos problemas.

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