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Derivadas direcionais

As derivadas parciais nos fornecem as taxas de variação de uma função em direções paralelas aos eixos coordenados x, y e z. No entanto, cabe-nos perguntar se podemos calcular as taxas de variação em relação a uma direção qualquer. A resposta é afirmativa e, para isso, utilizamos as derivadas direcionais.



Suponha que queiramos calcular a taxa de variação instantânea de f(x, y) em relação à distância em um certo ponto (x0, y0). Há uma infinidade de direções ns quais um ponto pode se mover em um plano. Portanto, vamos utilizar um vetor unitário para descrever uma direção específica nque comece em (x0, y0).


Vamos considerar o vetor unitário u = u1i + u2j que comece em (x0, y0) e aponte na direção que queremos. Esse vetor determina uma reta que pode ser expressa como x = x0 +su1 ; y = y0 +su2, onde s é o parâmetro.


Se s é igual a 0, o ponto (x, y) da reta está no ponto de referência (x0, y0) e, à medida que s cresce, esse ponto se movimenta pela reta na direção e no sentido de u. Logo, a derivada dz/ds em s = 0 nos fornece a taxa de variação instantânea de f(x, y) em relação à distância de (x0, y0)  na direção e sentido do vetor u.


Portanto, a derivada direcional de f na direção e sentido de u pode ser calcuçada através da fórmula Duf (x0, y0)  = d[f(x0 +su1, y0 +su2)]/ds quando s=0.


Além dessa definição formal, existe outro método, mais fácil, para calcularmos a derivada direcional de uma função f(x, y) na direção de um vetor unitário u: basta multiplicarmos as derivadas direcionais em relação a cada uma das variáveis da função pelas coordenadas correspondentes do vetor. Logo, também podemos expressá-la por Duf (x0, y0)  = fx (x0, y0)u1 + fy (x0, y0)u2.


É importante notar que o resultado da derivada direcional será um escalar e que o vetor deve ser unitário. Muitas vezes, nos é fornecido um vetor não unitário e, portanto, faz-se necessário normalizá-lo, ou seja, dividí-lo por sua norma, antes de começar a fazer os cálculos.

Comentários

  1. O vetor não precisa ser unitário. Claro que o "significado" da derivada direcional quando o vetor não é unitário, muda um pouco. Mas não há necessidade alguma de restringir o conceito a vetores unitários. Aliás, pode até ser o vetor 0.

    É importante não fazer a restrição quanto ao "tamanho" do vetor, para podermos relacionar o conceito de derivada direcional com o de vetor tangente a uma curva. Se r é uma curva (diferenciável) passando por x_0 no tempo t_0, e com vetor tangente v em x_0, então a derivada direcional de f na direção de v é exatamente a derivada de f o r.

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  2. Acho que nem sempre, para u = av + bw, D_u(f) = aD_v(f) + bD_w(f). Isso só vale quando f é de classe C^1. Ou seja, quando as derivadas parciais forem contínuas.

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  3. Engraçado! Meus professores sempre disseram que eu tinha de normalizar o vetor antes de fazer a operação (e até tive pontos descontados numa prova por causa disso, hehehe). Inclusive, o volume II do livro de Cálculo do Howard Anton (capa azul com os ciclistas), em sua página 979 diz que "Se f(x, y) for uma função de x e y e se u = u1i + u2j for um vetor unitário, então a derivada direcional de f na direção e sentido de u em (x0, yo)..."

    Se dizem isso no ensino superior, imagina o que não dizem no básico!

    Seu conhecimento mnatemático é incrível! Parabéns!

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  4. Engraçado! Meus professores sempre disseram que eu tinha de normalizar o vetor antes de fazer a operação (e até tive pontos descontados numa prova por causa disso, hehehe).

    É que o termo "direcional" sugere isso mesmo! Se "a" e "b" são dois vetores com a mesma direção, então espera-se que alguma coisa que leve o nome de DIRECIONAL seja idêntico quando calculado com "a" ou com "b"! Mas acontece que é mais útil definir a derivada na direção de "v" como lim f(x_0 + t v)/t, para t convergindo para 0.

    Eu não vejo nenhum problema em definir e restringir a definição aos vetores unitários. Mas acho interessante observar que a restrição é desnecessária, e que a generalização para vetores não unitários é um tanto quanto útil, já que permite uma interpretação conveniente de conceitos como a "regra da cadeia".

    Pode-se pensar, ao invés de direção, em termos de velocidade. Ao invés de pensar
    Como f varia quando ando em tal direção?
    pode-se pensar em
    Como f varia (em função do tempo) quando ando na direção de v com velocidade igual a |v|?
    neste caso, a resposta seria em função do "tempo".

    Parabéns!

    Obrigado. E parabéns pelo blog e pelos posts.

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  5. Engraçado! Meus professores sempre disseram que eu tinha de normalizar o vetor antes de fazer a operação (e até tive pontos descontados numa prova por causa disso, hehehe).

    A wikipedia (em inglês) também me diz que os vetores tem que ser normalizados.
    https://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative

    Parece que a definição usual seja realmente essa com vetores normalizados. O que é uma pena, já que identificar as derivadas com o espaço (vetorial) tangente ao ponto em questão é um conceito muito útil. É como chamar o produto interno de dois vetores "a" e "b" de "projeção" e exigir que seja calculado sempre com "b" sendo um vetor unitário. Neste caso, o produto a.b seria justamente o "tamanho (com sinal)" da projeção de "a" na direção de "b". Devo dizer que o conceito de produto interno é muito mais útil do que sua restrição ao caso em que "b" é unitário.

    De qualquer forma, não espalhe por aí que eu disse que não precisa normalizar o vetor... ;-)

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  6. Se a derivada direcinal de uma função num determinado ponto P (×, y) e na direção e sentido de um vetor unitário u (u1, u2) for, por exemplo, 2... Isso quer dizer que a taxa de variação instantanea da função na direção e sentido do vetor é 2, ou seja, f (x+u1, y+u2)=f(×, y) +2 ?????

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