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Sistemas e equações lineares

Uma equação linear com variáveis x1...xn e variáveis a1...an, b, que são seus coeficientes reais ou complexos, é uma equação da forma a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b. Um sistema de equações lineares, pois, nada mais é do que uma coleção de uma ou de várias equações lineares que envolvem as mesmas variáveis.



Uma solução de um sistema de equações lineares é uma lista de valores {s1...sn} que torna cada uma das equações verdadeiras.


Tomemos como exemplo o sistema linear 7x1 + 9x2 = 10 ; 3x1 + x2 = -3. Perceba que eu não consigo resolver cada uma das equações individualmente (se eu tentasse resolver a primeira equação em termos de x1, sobraria -9x2 do outro lado) e, portanto, para se chegar à lista de soluções, é necessário resolver todas as equações envolvidas em conjunto. É por isso que escrevemos os sistemas ao lado de uma chave: ela indica que todas aquelas equações estão interligadas.



Interpretação geométrica das soluções


As soluções de um sistema linear podem ser obtidas através de uma interpretação geométrica de suas equações.


No caso de o sistema ter apenas uma equação com duas variáveis, temos a equação de uma reta e o sistema terá infinitas soluções, correspondentes a todos os pontos que pertençam àquela reta. Na ilustração abaixo, temos a representação geométrica do sistema 3x + 4y = 5. Todos os pontos que pertençam à reta vermelha verificam a equação e são solução do sistema. Neste caso, dizemos que o sistema é possível e indeterminado.


Representação geometrica de 3x + 4y = 5


Essa situação também ocorre se as retas que representam as equações do sistema forem coincidentes, ou seja, a mesma. Quando os coeficientes das variáveis de cada equação do sistema forem múltiplos uns dos outros, teremos essa situação, como é o caso de 3x + 4y = 5 e 6x + 8y = 10.


Quando o sistema tem duas equações, podem acontecer duas situações distintas. Já sabemos que cada uma das equações com duas variáveis representa uma reta no plano cartesiano. Assim, se as duas retas forem concorrentes, isto é, se interceptarem em um ponto, as coordenadas desse ponto serão a única solução do sistema. Dizemos que, neste caso, o sistema é possível e determinado. A figura abaixo representa a solução do sistema {3x + 4y = 5 ; x + 2y = 2, que corresponde ao ponto (1, 0,5):


A solução do sistema é a intersecção das duas retas.


Pode acontecer, ainda, que as retas que representam as equações de um sistema serem paralelas; neste caso, elas não terão um ponto em comum e o sistema não terá solução, isto é, não existirão números reais que tornem as duas - ou mais - equações verdadeiras ao mesmo tempo. Dizemos que esse sistema é impossível.


Se com um sistema de duas variáveis temos retas e o mesmo pode ter uma, infinitas ou nenhuma solução, quando temos sistemas de três variáveis nós representamos suas equações por planos.


Assim como as retas, os planos podem ser paralelos, coincidentes ou concorrentes, mas como a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos, apenas temos duas possibilidades neste caso: ou o sistema não tem solução ou o sistema tem infinitas soluções. Em outras palavras, esteja certo de que, se você conseguir encontrar uma solução para um sistema de três variáveis, ele terá infinitas soluções.


No próximo post, vamos ver a solução algébrica dos sistemas. Até lá!

Comentários

  1. Como posso calcular os sistemas e equacoes lineares? Porá a parada me da uma quebra cabeça pó!!!!!!!

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