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Funções de duas variáveis e curvas de níveis

Você já deve saber que uma função f: A → B é uma lei, ou uma regra, que associa cada elemento do conjunto A com elementos do conjunto B. Nos ensinos fundamental e médio, somos apresentados às funções reais de apenas uma variável real, mas é possível criarmos funções com duas ou mais variáveis.



Na verdade, mesmo que você ainda esteja na escola básica, é provável que você já tenha utilizado alguma função de duas - ou mais - variáveis sem perceber. Na Física, por exemplo, aprende-se que a velocidade é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto e a calculamos através da fórmula v = d/t. Se pararmos para analisar, veremos que a velocidade é, na verdade, uma função que depende da distância e do tempo e, assim, poderíamos reescrever sua fórmula de outra maneira: v(d, t) = d/t.


O conceito de função de duas variáveis é, então, similar àquele que já conhecemos: uma função de duas variáveis f(x, y) é uma função que associa um único número real f(x, y) a cada ponto (x, y) de um conjunto D no plano xy.


Todas as operações que conhecemos para as funções "normais" se aplicam a essas novas funções. Por exemplo: seja a função f(x, y) = sen(x cos(y)). Para calcularmos f(3, 5), apenas devemos substituir x por 3 e y por 5 na lei de formação. Dessa forma, f(3, 5) = sen(3 . cos (5)) = 0,751... (com 3 e 5 sendo radianos). Se tivéssemos uma função com três, cinco ou dez variáveis, procediríamos da mesma forma.


Apenas devemos tomar cuidado com o domínio dessas funções. Por exemplo: em f(x, y) = ln(x^2 - y), sabemos que x^2 - y deve ser maior do que 0 pois o logarítmo natural não está definido para 0 ou para números negativos. Assim, temos que 0 < x^2 - y, logo y < x^2 e, portanto, o domínio dessa função é todos os pontos do plano xy que estejam abaixo da curva y = x^2.



Gráfico


O gráfico de uma função de uma variável é uma curva (ou conjunto de curvas) no plano xy. No entanto, o gráfico de uma função de três variáveis é, em geral, uma superfície no espaço tridimensional da geometria euclidiana.


Para representá-lo, primeiro precisamos passar do plano xy para o espaço xyz, representado abaixo:


O espaço tridimensional xyz

A escolha da posição dos eixos x, y e z não e aleatória. A princípio, pode parecer estranho o eixo x estar na vertical e o y na horizontal, mas essa posição deve-se à regra da mão direita, que consiste em estendermos a mão direita sobre o eixo x e fechá-la na direção do eixo y. O polegar, então, representará, aproximadamente, a posição correta do eixo z. Essa posição é adotada como padrão pela maioria dos matemáticos, físicos e livros didáticos em geral.


Assim, para traçar o gráfico, tudo que temos a fazer é marcar a posição do ponto (x, y) e, a seguir, subir (ou descer) no eixo z o equivalente à imagem daquele ponto. O gráfico de nossa função f(x, y) = sen(x. cos(y)) está representado abaixo:


Gráfico da função f(x) = sen(x cos (y))


Esses gráficos são umas das mais belas partes da Matemática - e dispensa explicações! - mas eles são, em geral, muito difíceis de serem feitos a mão. Por isso, geralmente são utilizados recursos gráficos computacionais. Dependendo da lei de formação em questão, o gráfico pode ser uma superfície, como uma esfera ou elipsóide.



Curvas de níveis


As curvas de níveis são uma forma de representar o gráfico de uma função de duas variáveis em um plano xy 2D. É a projeção no plano xy da intersecção entre z = k e z = f(x,y). É como se passássemos umalâmina a certa altura do eixo z e desenhássemos o contorno do gráfico naquela altura. Variando-se k, obtemos uma coleção de curvas de nível, chamada de mapa de contorno. Abaixo, você vê o mapa de contorno da função acima:


Mapa de contorno da função f(x, y) = sen(x . cos (y))


As curvas que se aproximam indicam uma maior variação da função e as que se afastam, uma variação menor. As curvas com espaçamento constante indicam uma variação constante.



Superfícies de nível


O gráfico de uma função f(x) é uma curva no espaço 2D e o de uma função f(x,y) é uma superfície em 3D. Assim, o número de dimensões necessárias para se representar o gráfico de uma função é igual ao número de variáveis mais um. Por isso, não é possível representar o gráfico de uma função de três variávies f(x, y, z), pois este seria representado em quatro dimensões e nós, seres humanos, enxergamos no máximo três.


Mas isso não significa que não possamos representar essas funções de forma indireta. Se tomarmos uma constante k, o gráfico de f(x, y, z) = k será uma superfície no espaço tridimensional que, embora não represente o gráfico da função propriamente dito, nos fornece uma ideia de seu comportamento.

Comentários

  1. muito bom artigo. ajudou muito a entender o que sao as curvas de nivel

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  2. vc fala apenas da teoria no entanto so isto não adiante tem que dar mais exemplos e demostrações so assim será melhor
    RICARDO FISICA UFMT

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