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Como resolver sistemas lineares

No post anterior, vimos que um sistema linear é um conjunto de equações lineares que envolvem as mesmas variáveis. Descobrimos, ainda, que podemos encontrar a solução do sistema de forma geométrica, representado cada equação por uma reta e analisando se elas se cruzam ou não.


Embora a solução geométrica funcione, ela traz alguns inconvenientes, como o fato de ser necessário desenhar gráficos. Hoje, vamos aprender a como resolver um sistema linear de forma algébrica.



Para resolvermos um sistema linear, tudo que precisamos fazer é substituí-lo por outro equivalente que seja mais fácil de ser resolvido. Por sistema equivalente, entendemos um sistema que tenha o mesmo conjunto solução do sistema original.


A estratégia básica é deixar apenas uma variável por linha. Assim, utilizamos a variável x1 da primeira equação para eliminar os termos em x1 das outras equações; o termo em x2 da segunda equação para eliminar os termos em x2 das demais equações e assim por diante. Para conseguirmos fazer isso sem alterarmos o conjunto solução do sistema, podemos utilizar três operações básicas, que são:


Substituir uma linha pela soma dela com os termos de outra linha: desta forma, considerando-se o sistema {a1x1 + a2x2 = b1; c1x1 + c2x2 = b2, se quisermos eliminar o termo em x1 da segunda equação, podemos substituí-la por {a1x1 + a2x2 = b1; (c1+da1)x1 + (c2+da2)x2 = b1 + db2.


Trocar duas linhas de lugar: essa operação não elimina ou substitui uma variável, mas pode tornar mais fácil a realização da tarefa anterior, além de manter nosso sistema mais "organizado", por assim dizer. Assim, o sistema {a1x1 + a2x2 = b1; c1x1 + c2x2 = b2 possui as mesmas soluções de {c1x1 + c2x2 = b2; a1x1 + a2x2 = b1.


Multiplicar uma linha por um número real não nulo: embora essa operação não elimine, necessariamente, uma variável de uma linha, ela pode tornar seu coeficiente unitário ou com outro valor que facilite sua ulterior eliminação. Assim, o conjunto solução de {a1x1 + a2x2 = b1; c1x1 + c2x2 = b2 é o mesmo de {a1x1 + a2x2 = b1; dc1x1 + dc2x2 = db2. É importante que a variável d não seja igual a 0 pois, se assim for, estaremos estragando o sistema ao eliminar uma de suas equações.


Embora fáceis de entender, essas operações são mais simples de serem realizadas se transformarmos o sistema para sua forma matricial, que é o que veremos no próximo post dessa série. Até!

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