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Integrais impróprias

Sabemos que, por sua definição, as integrais definidas são o limite da soma de Riemann, dado pela fórmula Expressão da Integral definida. Ao fazermos essa definição, porém, assumimos que o intervalo [a, b] é finito e o limite existe de fato. No entanto, sabemos que o mundo não é um conto de fadas e, portanto, pode ocorrer de o intervalo não ser finito ou o limite não existir. Para resolvermos esse impasse, precisamos de ampliar nosso conceito de integral definida, introduzindo, assim, as integrais impróprias.



As integrais impróprias são integrais definidas que apresentam alguma singularidade que, geralmente, apresenta-se de uma das três formas a seguir:




  • O intervalo de integração é infinito (por exemplo: (-∞, +∞) ou [1, +∞);

  • A integral apresenta uma descontinuidade infinita no intervalo de integração. Isso ocorre devido á existência de assíntotas verticais no interior do intervalo, por exemplo: estamos calculando a integral definida da função 1/x em [-1, 1];

  • O intervalo de integração é infinito e contém uma descontinuidade infinita em seu interior.


Cada uma dessas situações exige-nos uma estratégia diferente.



Integrais sobre intervalos infinitos


Gráfico representando a integral definida de 1/x^2 de 1 até infinitoPara ilustrarmos essa situação, vamos calcular Integral definida de 1 até infinito de dx/x^2, que é uma função contínua e não negativa. Conforme você pode ver no gráfico ao lado, em um primeiro momento podemos pensar que, como a integral definida expressa a área entre o gráfico de f(x) e o eixo das abscissas, a integral procurada expressa uma área infinita, pois a função estende-se infinitamente.


Infelizmente, porém, o conceito de área está definido apenas para intervalos de extensão finita e, portanto, dizer que a área da região é infinita é uma afirmação vaga e imprecisa.


Podemos, porém, tomar um número qualquer b maior do que 1 e calcular a área da região acima do eixo x no intervalo [1. b], que está definida e é igual a A integral definida de 1 a b de 1 sobre x^2 é 1 - 1/b.


Nossa intuição sugere que podemos tornar b tão grande quanto queiramos de forma que, se b → ∞, a área do intervalo [1, b] que encontramos acabará preenchendo toda a área do intervalo [1, +∞) e poderemos, então, calcular tal área através do limite O limite de b tendendo a mais infinito da integral definida de 1 até b de dx/x^2 é igual a 1.. Desta forma, concluímos que a área entre o eixo x e a função vale 1 e não tem uma extensão infinita conforme conjecturamos inicialmente.


Com base nesse exemplo, já sabemos como resolver uma integral definida em intervalos infinitos: basta calcularmos a integral definida até um valor arbitrário b e tomarmos o limite deste b até o infinito.


Se o limite calculado existir, dizemos que a integral converge e seu valor é o valor do limite; se, no entanto, o limite não existir, dizemos que a integral diverge e a integral, portanto, não tem valor algum.



Integrais com descontinuidades infinitas


As integrais com descontinuidades infinitas podem ocorrer tanto em intervalos finitos quanto em intervalos infinitos. Para resolvê-las,  consideramos que estejamos em um intervalo [a, b] e que a função f(x) seja contínua nesse intervalo, exceto por uma descontinuidade infinita em b, tomamos um k pertencente a [a, b] e menor do que b e calculamos o limite da integral definida de a a k de f(x) quando k tende a b pela esquerda. De igual forma, se a descontinuidade ocorre em a, calculamos o limite da integral definida de k a b de f(x) quando k tende a a pela direita. Se, por outro lado, a descontinuidade infinita ocorre em algum ponto c entre a e b, simplesmente quebramos a integral nesse ponto c e realizamos a soma.


A convergência e a divergência são idênticas àquelas dos intervalos infinitos nos dois primeiros casos. No último, ela apenas convergirá se ambas as parcelas convergirem.


Para ilustrar, calculemos Integral definida de 1 até 4 de dx/(x-2)^(2/3). Como o integrando tende a +∞ em x=2, que é um valor que está no interior do intervalo, a integral é imprópria.


Com isso, podemos reescrevê-la como A integral definida daquela expressão de 1 a 2 mais a integral definida de 2 a 4.. Calculando cada integral definida separadamente, encontraremos respectivamente 3 e 3[(2)^(1/3)].  Assim, o valor procurado é exatamente 3 +  3[(2)^(1/3)].

Comentários

  1. Boa noite André.

    Aprendi muito estudando pelo seu artigo. Você é o cara. Valeu!

    Muito obrigado pela ajuda.

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  2. Ola André, admiro muito o seu blog!
    Queria tirar uma dúvida, pois minha professora "queimou" essa parte de integrais impróprias do Cálculo II e preciso dela para Transformadas de Fourier...
    Quando a área procurada tiver os dois limites no infinito como faço?
    Obrigado
    Vinicius

    ResponderExcluir
  3. Neste caso, você deve escolher um número real qualquer c e calcular duas integrais impróprias: a de menos infinito até c e a de c até mais infinito. Se ambas tiverem um valor real, a resposta será a soma do valor de ambas; se pelo menos uma divergir, a integral imprópria diverge.

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  4. Boa noite,
    Gostaria de saber porque a integral da função tem com resultado ela mesma?
    Desde já agradeço.

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  5. Qual a fonte deste trabalho?

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  6. O livro do Anton e algumas notas e exemplos de aula.

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