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Integração por frações parciais

O método de integração por frações parciais permite-nos atacar as integrais de funções racionais, ou seja, da forma P(x)/Q(x), onde P(x) e Q(x) são polinômios e Q(x) ≠0.



A fim de facilitar nosso trabalho, a primeira coisa que temos de fazer é fatorar o denominador em fatores irredutíveis. A seguir, precisamos de decompor a expressão em frações parciais. Em seguida, achamos os numeradores através de um sistema e, por fim, resolvemos as integrais.


Para decompor a expressão em fatores parciais, utilizamos um teorema de Álgebra Avançada (que será aceito sem demonstração) o qual nos dá algumas "regras" para decompor os fatores de Q(x):




  • Se todos os fatores de Q(x) forem lineares, para cada fator da forma (ax + b)n, a decomposição em frações parciais gera a soma A1/(ax+b) + A2(ax+b+^2 + ... + an/(ax+b)^n, onde A1, A2, ... ,An são constantes a serem determinadas;

  • Se Q(x) possui fatores quadráticos irredutíveis, para cada fator da forma  (ax2 + bx + c)n, a decomposição em frações parciais gera a soma (A1x + B1)/(ax^2+bc+c) + (A2x + B2)/(ax^2+bc+c)^2 + ... + (Anx + Bn)/(ax^2+bc+c)^n, onde A1, A2, ... ,An são constantes a serem determinadas;


Para ilustrar a teoria acima, vamos a um exemplo prático: vamos calcular Integral(1/(x-1)(x+2))dx. Perceba que, por razões práticas, já fatoramos o denominador Q(x) em termos irredutíveis. Mesmo assim, calcular essa integral diretamente parece ser algo impossível, pois ela não se assemelha a quaisquer outros casos que vimos até agora.


Dessa forma, vamos decompor seu integrando em frações parciais. Observe que o denominador possui apenas termos lineares. Perceba, também, que ambos os termos possuem expoente 1, o que os faz contribuir com um termo cada na decomposição. Assim, temos que 1/(x-1)(x+2) = A/(x-1) + B(x+2). Nossa tarefa, agora, resume-se em descobrir quem é A e quem é B (você também poderia ter chamado A e B de A1 e de A2, se quisesse).


Como você já deve estar imaginando, existem várias formas de descobrirmos o valor dessas incógnitas. Aquela que eu considero mais simples é multiplicar ambos os lados da igualdade por (x-1)(x+2) pois isso irá eliminar o denominador, que está nos atrapalhando.


Fazendo a multiplicação acima, temos que 1 = A(x + 2) + B(x - 1). Aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação aplicada à soma, temos que 1 = Ax + 2A + Bx - B. Reagrupando, finalmente, os termos do segundo membro em função de x, temos que 1 = (A + B)x + 2A - B.


Você pode não ter notado, mas acabamos de descrever um sistema! Note que o 1 que está sozinho no primeiro membro da igualdade pode ser escrito como 0x + 1. Como no outro termo nós temos algo [(A + B)] que multiplica x e outro algo [(2A - B)] que está sozinho e como isso é uma igualdade e x é igual a x, chegamos à incrível conclusão de que A + B = 0 e que 2A - B = 1!


De imediato, tiramos, pela primeira igualdade, que A = -B. Realizando essa substituição na segunda sentença, temos que 2(-B) - B = 1, ou seja, -3B = 1, ou finalmente, B = - 1/3. Como A = -B, concluímos que A = 1/3.


Logo, a decomposição em frações parciais fica 1/(x-1)(x+2) = (1/3)/(x-1) + (-1/3)/(x+2). Integrando-se dos dois lados e extraindo-se as constantes, obtemos Integral(dx/(x-1)(x+2)) = 1/3Integral(dx/x-1) - 1/3Integral(dx/x+2), que é algo mais simples de resolver do que a equação original (note que eu esqueci de colocar o dx no primeiro termo, deve ser a idade xd).


Enfim, resolvendo todas as integrais do segundo termo, temos finalmente que O resultado final é 1/3 * ln |x-1/x+2| + C.


Essas são as principais formas disponíveis de se resolverem integrais. Em resumo, elas consistem em transformar uma integral desconhecida em outra conhecida e de fácil resolução para podermos obter uma resposta e fazermos as substituições necessárias. Note que esse exemplo foi trivial, mas as novas integrais obtidas no segundo membro podem ser, a rigor, de quaisquer tipos e resolvidos por substituição em u, por substituição trigonométrica, por partes repetidas...


No próximo post, vamos falar um pouco sobre integrais impróprias. Até lá!

Comentários

  1. Muito bom, ajudou bastante. Obrigado!

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  2. Obrigada! após 10 anos sem ver integrais, consegui resolver problemas desse tipo.

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  3. sem palavras para agradecer, me ajudou muito

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