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Entenda o Teorema de Pitágoras de uma vez por todas!

O Teorema de Pitágoras é, talvez, o mais famoso e conhecido teorema que existe na Matemática. Embora ele seja extremamente simples e elegante, é motivo de arrepios para muitos alunos dos ensinos Fundamental e Médio que, em geral, apenas decoram que "o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos" sem, na maioria das vezes, entender o que é um teorema, o que é uma hipotenusa, o que é um cateto e, em certos casos, o que é um quadrado! Neste post, vou explicar de maneira simples e visual o que essas misteriosas palvras significam e, após lê-lo, você nunca mais vai precisar decorar seu enunciado, pois o terá entendido.



Começando do princípio, um teorema é uma afirmação que pode ser demonstrada. Quando um matemático descobre algo novo, essa descoberta ganha, imediatamente, o título de conjectura, que é uma afirmativa que pode ou não estar correta. Seria como se, após descobrir, o matemático dissesse "eu acho que ... é válido" ou "eu tenho fortes evidências de que ... é verdade". No entanto, para a Matemática, simplesmente achar ou ter evidências de que algo é verdade não serve para dizer que aquilo é, de fato, verdade. Apenas quando um matemático - que não precisa ser necessariamente quem descobriu a conjectura - consegue provar que tal afirmação é verdadeira através de afirmações lógicas e corretas, esta afirmação passa a ter o status de teorema e, a partir daí, pode ser utilizada para provar outras afirmações.


Assim, o Teorema de Pitágoras é uma afirmação que Pitágoras conseguiu demonstrar que é verdade através da lógica (se bem que, na verdade, como quase tudo que envolve a matemática do mundo antigo, existem algumas pessoas que afirmam que aquele resultado já era conhecido pelos chineses séculos antes de Pitágoras nascer, o que não tem importância alguma na prática). Há várias demonstrações para esse teorema; a que explico abaixo é uma das mais simples de se entender.


Um triângulo é um polígono que possui três lados. Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (metade de um ângulo raso ou, como é mais conhecido, 90°). A hipotenusa é o maior lado desse triângulo com um ângulo reto; cada um dos outros dois lados recebe o nome de cateto.


O triângulo retângulo ABCPitágoras conseguiu dividir um dos catetos em três partes iguais, o outro em quatro partes iguais e a hipotenusa em cinco partes iguais. Essas medidas, 3, 4 e 5, são chamadas de terna pitagórica e representam o menor triângulo retângulo com medidas inteiras no qual vale o famigerado teorema. Todos os outros triângulos retângulos são, de alguma forma, múltiplos ou submúltiplos do triângulo 3, 4 e 5.


Os catetos e a hipotenusa do triângulo foram divididos em 3, 4 e 5 partes iguais.Após dividir o triângulo, Pitágoras criou quadrados com base nos lados desse triângulo. Assim, temos um quadrado de lado AB, outro de lado AC e outro de lado BC:


Criando quadrados a partir do triângulo retângulo


Como os quadrados possuem todos os seus lados iguais, nós podemos preenchê-los com quadradinhos, tomando como base as divisões que fizemos anteriormente:


Podemos preencher os quadrados com quadradinhos


Se você prestar atenção, verá que o quadrado verde foi preenchido com 9 quadradinhos e o amarelo, com 16. Se você contar o número de quadradinhos do quadrado cinza, que está sob a hipotenusa, verá que eles são 25. Ora, 16 + 9 = 25. Assim, a sima do número de quadradinhos dos catetos é igual ao número de quadradinhos da hipotenusa.


Além disso, podemos perceber que o que fizemos nos quadrados que obtemos a partir do triângulo retângulo ao dividí-los nada mais foi do que calcular sua área. Logo, a área do quadrado que está sobre a hipotenusa é igual à área dos quadrados que foram construídos sobre os catetos. Essa é a interpretação geométrica do teorema de Pitágoras e uma forma bastante simples e elegante de entendê-lo.

Comentários

  1. Caramba, muito obrigado! quando a professora falava eu não entendia nadaaaaaa...Valeu mesmo cara....

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  2. Muito bom o texto.Quando estava no colégio,sempre senti falta de textos explicando da onde surgem as fórmulas,quem inventou e sua aplicação prática,muitas vezes os professores simplesmente nos mandam calcular.

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  3. Vou desabafar: Estudei 11 anos da minha vida em um colégio que se chamava "Pitágoras", e não entendia o porquê do símbolo ser esses três quadrados rsrs. O problema está de fato no método que os professores utilizam para ensinar matemática: o que acaba a tornando algo chato e, muita das vezes, de difícil compreensão. Adorei esse post, continue assim e parabéns!

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  4. Bom, aqui você interpreta a fórmula como "as áreas dos quadrados são iguais", mas não indica nenhuma evidência para sua validade. Note que nesse post não fica nem mesmo confirmada a existência do triângulo retângulo 3, 4 e 5. O "argumento" para 3, 4 e 6 seria idêntico!

    Eu sugiro a página da wikipédia:
    https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras#Demonstra.C3.A7.C3.B5es
    Em especial, as figuras:
    https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Teorema-pitagoras-area-quadrado.png
    https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Pythag.gif

    Nessas figuras, é importante observar onde é que está sendo usado o fato de o triângulo possuir um ângulo reto!

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  5. Todos os outros triângulos retângulos são, de alguma forma, múltiplos ou submúltiplos do triângulo 3, 4 e 5.

    Como assim!? Está dizendo que todos os triângulos retângulos são semelhantes? Note que eu posso escolher um dos ângulos arbitráriamente entre 0 e 90 graus.

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  6. Olá, André Caldas. Uau, você comenta, hein?

    Bem, como o Teorema de Pitágoras diz que em um triângulo retângulo qualquer a soma dos quadrados do catetos é igual ao quadrado da hipotenusa e o menor triângulo retângulo com medidas inteiras é a trina pitagórica 3, 4 e 5, pode-se inferir que todos os triângulos retângulos são semelhantes a esses, nem que seja por LAL. Mas, seguindo o formalismo da Matemática, exiba-se um triângulo retângulo cujas medidas dos catetos e da hipotenusa não seja múltiplo de 3, 4 e 5 e eu modificarei o post.

    []s

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  7. Realmente não coloquei prova formal alguma, pois a maioria dos estudantes de escola básica não vê isso em Matemática. No entanto, você poderá convencer-se assistindo a este vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=TsPHM75hkgE []s

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  8. Talvez eu esteja entendendo errado o que você está dizendo, mas...

    Catetos de lado 1 e 1.
    Hipotenusa de lado raiz de 2.

    Esse não é congruente ao 3, 4, 5.

    Ao dizer que um triângulo é retângulo, a única coisa que está fixada é um ângulo reto (A do LAL). Mas até então, você tem liberdade total para escolher dois lados.

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  9. O vídeo é interessante, mas é meio cabalístico... :-)

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  10. Olá, André Caldas. Uau, você comenta, hein?

    Acho muito bacana esse tipo de espaço que você oferece aqui no seu site! Tanto o compartilhamento do seu conhecimento através dos posts, quanto a possiblidade de se poder comentá-los.

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  11. Entendi o que você quis dizer e está certo! Acho que eu me expressaria melhor dizendo que todos os triângulos retângulos *cujos lados são números inteiros* são semelhantes do 3,4,5. Evidentemente, raiz de 2 é irracional. Obrigado!

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  12. Agora deixa eu ver se entendi o triangulo ratangulo não se aplica ao 3 4 5 ?

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  13. muito bom?eu ja entendi tudo?

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  14. Eu entendi o assunto! Meus parabéns a você!
    eu vi que decorar o teorema que é uma afirmação com demo não é o melhor caminho mas sim o entendimento do teorema é mais fácil e eu amei esses exemplos dos quadradinhos dentro dos quadrados, quer dizer, o cateto A ao quadrado + o cateto B ao quadrado é igual a hipotenusa ao quadrado. Amei!

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  15. meu querido, ao inves de tentar colocar defeito no post dos outros vai ver se teu pau cresceu !!! froxo

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  16. Giovanna Di Angelis16 de maio de 2015 12:00

    ISSO NÃO É, NUNCA FOI, E NUNCA SERÁ UM TRIÂNGULO RETÂNGULO.
    DIGITE NO Google: OS CONCEITOS SERÃO ABALADOS

    Observação: Eu pago para demonstrar

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  17. Puxa... acabei parando aqui de novo... :-)

    Esse vídeo (em inglês), DEMONSTRA o teorema usando triângulos ao invés de quadrados!
    https://www.youtube.com/watch?v=ItiFO5y36kw

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  18. […] aulas de Geometria, uma trina pitagórica é um conjunto de números inteiros que satisfaz o famoso Teorema de Pitágoras, que diz que o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados […]

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