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Calculando integrais por substituições trigonométricas

As substituições trigonométricas nos permitem calcular integrais que tenham radicais da forma raiz(a^2-x^2), raiz(x^2+a^2) e raiz(x^2-a^2). É necessário frisar que, em alguns casos, a integral que contenha essas funções pode ser resolvida por outro método.



A substituição trigonométrica troca o radical presente na função acima por uma das funções trigonométricas correspondente da tabela abaixo:


Tabela de substituições trigonométricas


O objetivo principal é que, utilizando as identidades trigonométricas, possamos eliminar o radical e proceder ao cálculo comum da integral. Salienta-se que, ao utilizar-se essa técnica, aparentemente vamos ficar com uma integral mais complexa do que a original mas, no final, tudo será mais simples de resolver.


Como exemplo, vamos encontrar integral(dx/x^2raiz(4-x^2))


Graças à tabela de substituições trigonométricas acima, sabemos que x = 2senθ e dx = 2cosθdθ. Realizando tais substituições na equação original, a mesma se transforma em


Integral(2cosθdθ/(4sen^2θRaiz(4-4sen^2θ))


que aparentemente é algo bem mais complicado que a anterior! No entanto, o "truque" da substituição trigonométrica vem agora: vamos colocar o 4 que está no radical em evidência e usar a identidade fundamental cos² x + sen² x = 1 e, com isso, obtemos:


Integral(2cosθdθ/(4sen^2θRaiz(4(1-sem^2θ))) = Integral(2cosθdθ/4sen^2θRaiz(4cos^2θ))


Agora, temos um termo que pode sair pra fora do "asqueroso" radical! Retirando esse termo e fazendo as demais adaptações convenientes, temos que:


Integral(2cosθdθ/4.2sen^2θcosθ) = 1/4Integral(1/sen^2θ)dθ


Finalmente, como todos nós sabemos (cof, cof) que 1/sen θ =cossec θ, podemos realizar uma última substituição e, finalmente, encontrar um valor para a integral procurada:

1/4 Integral(cossec^2θdθ) = - 1/4cotgθ+C

(Observação: eu esqueci de colocar o sinal de menos na frente do 1/4 do segundo membro ;))


Bom, enfim terminamos a tarefa, mas se você prestou atenção, deve ter notado que a questão original pedia para calcularmos a integral em termos de x, mas acabamos calculando-a em termos de θ! Nada muito grave, pois através da trigonometria, podemos facilmente deduzir que cotgθ = Raiz(4 - x^2)/x e, portanto, a resposta final será -1/4 Raiz(4 - x^2)/x + C.

Comentários

  1. José catumbela Hossi24 de setembro de 2014 07:00

    Q maravilha resolver integrais

    ResponderExcluir
  2. Gostaria de saber se tem como mostrar o porque das substituições asenx atgx asecx, bem como a colocação dos termos no triângulo? ou é um mero artifício para ser memorizado. grato

    ResponderExcluir
  3. Wilson, é colocado em termos do teorema de pitagoras;

    Perceba que: sqrt(a^2+x^2) = C e que:

    C^2 = a^2 + x^2.

    Para sqrt(x^2 - a^2) = C, teremos:

    C^2 = x^2 - a^2, mas não está na configuração de pitagoras, pois: C^2 = A^2 + B^2.

    Logo: x^2 = C^2 + a^2

    Espero que eu tenha ajudado.

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