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Utilizando a integral definida para calcular a área entre duas curvas

Já vimos que a integral definida é utilizada para calcular a área entre uma curva - geralmente o gráfico de uma função - e o eixo x em um intervalo [a, b], mas ela também pode ser utilizada para calcular a área entre duas curvas que estejam no mesmo plano cartesiano.



Dadas duas funções, f(x) e g(x), ambas contínuas no intervalo [a, b], se f(x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b (ou seja: o gráfico de f(x) está acima do de g(x)), a área da região limitada superiormente pelo gráfico de f(x), inferiormente por g(x) e lateralmente por a e b pode ser calculada através de A = integral definida de f(x) - g(x) de a até b..


Essa fórmula é válida para quaisquer que sejam as funções f(x) e g(x). Particularmente falando, se ambas estiverem acima do eixo x, basta ver que a fórmula representa a diferença da a área entre a função superior e o eixo e da área entre a função inferior e o eixo - mas a fórmula é a mesma se uma função estiver acima e outra abaixo do eixo x ou as duas estiverem abaixo das abscissas.


É de fundamental importância que saibamos os valores de a e de b para que possamos calcular a integral definida. Em alguns problemas, esse valor poderá ser dado mas, na maioria das vezes, apenas serão informadas as leis das funções. Como encontrar a e b neste caso? Lembre-se que, como f(x) ≥ g(x), f(x) está acima de g(x), o que significa que os gráficos poderão se interseccionar e será nessa(s) intersecção(ões) que encontraremos os limites laterais da nossa área de integração.


Para encontrar esses limites, devemos igualar f(x) e g(x). Se ambas as funções estiverem escritas em função da mesma variável, basta igualá-las. Por exemplo, para encontrarmos as intersecções de y = x2 e y = x + 6, tudo que temos a fazer é igualar as duas funções, obtendo x2 = x + 6, ou seja x2 - x - 6 = 0 e resolver a equação, o que nos dará x = 2 e x = 3, que são os valores de a e de b que precisamos para resolver o problema. No entanto, pode acontecer de uma função estar em termos de y e outra estar em termos de x. Neste caso, precisaremos de colocar as duas na mesma variável: ou colocamos a que está em termos de y em termos de x ou a que está em x em termos de y. Tudo vai depender daquilo que for mais conveniente pois, dependendo da função, poderemos acabar com duas ou mais funções após a conversão - tipico de quando há algo elevado ao quadrado, o que nos obrigará a dividir a solução do problema em partes. É de fundamental importância, também, esboçar os gráficos das funções envolvidas para saber qual é a que está acima e qual é a que está abaixo - pois a resposta pode não ser óbvia e não respeitar a ordem dada no exercício.


Vamos ilustrar esse artigo com um exemplo: calcular a área da região limitada acima por y = x + 6, abaixo por y = x2 e nas laterais por x = 0 e x = 2.


Ao analisar o desenho abaixo, você poderá compreender exatamente o que estamos querendo calcular:na primeira parte, vemos a área de y = x + 6; na segunda, a área de y = x2 (lembre-se de que a integral calcula a área entre o gráfico e o eixo x) e na terceira a área da primeira função limitada pela segunda:


Área entre y = x + 6 e y = x^2 de 0 a 2.


Assim, para obtermos o resultado desejado, basta fazer:


Cálculo do exemplo

Comentários

  1. Boa explicacao gostei muito

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  2. Prezado mestre Andre,estou precisando uma orientação como estudar calculo 1 e 2 de forma ordenada,quais as sequencias de assuntos que vc me indica ,faz mais de 14 anos que nao estudava calculo,,veja se os assuntos que me planejei a fazer está correta,graficos de funçoes ,estudo sinal da funçao,definicao limite e propriedades apesar minhas dificuldades em limites indeterninados,definição da derivada,propriedades,produto ,quociente,introdução a calculo da derivadas principais,e noçao integral ,definida e indefenidas,se tiveres uma
    coletanea de exercicios de areas agradeço ,outra coisa tenho dificuldade calculo dois de integrais duplas e integrais por substituiçao ,como chegar a demonstração das 3 variedades x=asecx x=a tgx x=asenx,Obrigado Everton

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