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Integrais definidas

Se você voltar novamente ao post sobre Integrais, verá que falei que existem dois tipos de integrais: as antiderivadas, que representam a operação oposta ao processo de derivação e as integrais definidas, as quais serão explicadas neste post. Continue lendo.



Naquele post, eu disse que um dos grandes problemas dos matemáticos antigos era calcular a área de figuras com regiões curvas. O matemático e físico Arquimedes criou, então, o método da exaustão para calcular a área de um círculo. O método consistia em inscrever na figura sucessivos polígonos com um número de lados cada vez maior. A ideia, intuitivamente, é que se inscrevêssemos um polígono com infinitos lados teríamos o equivalente a área do círculo.


O mesmo princípio pode ser utilizado para calcular a área entre o gráfico de uma função em um intervalo [a,b] e o eixo das abscissas. Conforme você pode verificar pela excelente animação abaixo, para se ter uma ideia inicial da área compreendida entre o gráfico de uma função e o eixo dos x, dividimos o intervalo em subintervalos de larguras iguais. A seguir, marcamos o ponto da função correspondente a cada um dos pontos médios dos intervalos que criamos no passo anterior e desenhamos retângulos. A área da região será, pois, a soma da área de todos os retângulos construídos.


Definição geométrica da integral definida.


Evidentemente, com um número pequeno de retângulos certamente haverá um erro na aproximação, pois alguns retângulos poderão ultrapassar os limites do gráfico da função ou deixar espaços em branco entre eles. Conforme você pode ver na animação, se preenchermos o espaço entre o eixo x e a curva com retângulos cada vez menores e em maior número, tenderemos a eliminar essas imperfeições. Logo, se preenchermos tal espaço com um número infinito de retângulos, a soma da área de todos eles será igual à área entre a curva e o eixo das abscissas.


A Integral Definida é, pois, a soma das áreas desses infinitos retângulos entre o eixo x e a curva dada. Expressamos-na como Expressão da Integral definida onde f(xk*) corresponde à altura dos retângulos e o Δx à largura dos mesmos.


Calculando uma integral definida com área abaixo do eixo x.Cabe notar que nem sempre é possível calcular a integral definida: ela não existirá nos lugares ou nas condições nas quais o limite de sua fórmula não existir. Além disso, é de extrema importância explicar que a área calculada leva em consideração o sinal, ou seja, quando a curva estiver totalmente acima do eixo x, a integral definida calculada será exatamente igual à área procurada, mas se a curva estiver abaixo do eixo x, a integral calculada será a área com o sinal negativo. Isso significa que se o gráfico de uma função tiver partes acima e partes abaixo do eixo x, as partes que estão abaixo do eixo x serão descontadas da operação final e o resultado não será exatamente a área procurada, conforme ilustra a figura ao lado.


Por exemplo: considere uma função em um intervalo [a, b] onde tenhamos as partes A1 acima do eixo x, A2 abaixo do eixo x e A3 acima do eixo x. A integral definida desta função no intervalo [a,b] será igual a A1 - A2 + A3, que poderá ser um resultado diferente de A1 + A2 + A3.



Diferença da antiderivada e da integral definida


Embora a antiderivada e a integral definida compartilhem o mesmo símbolo - e até o mesmo nome - não podemos confundir as duas. A antiderivada de f(x) representa uma família de funções F(x) + C que, se derivadas, resultam em f(x); já a integral definida de f(x) em um intervalo [a, b] representa um número Real que corresponde à área entre o gráfico de f(x) e o eixo das abscissas no intervalo [a, b].



Propriedades da Integral Definida


1)  A integral definida de f(x) de a até a é 0, pois a área de um ponto a até ele mesmo é um risco, ou seja, igual a 0;


2) Uma constante pode sair do sinal de integral.


3) A integral da soma é a soma das integrais.


4) A integral definida de f(x) de a até b é igual a menos a integral definida de f(x) de b até a pois, pela própria definição de integral definida, neste caso Δx teria um valor negativo.


5) Se c é um número Real que pertence a [a, b], então A integral definida de f(x) de a até b é igual à integral definida de f(x) de a até c mais integral definida de f(x) de c até b., ou seja, você pode "quebrar" uma integral definida em duas - ou mais - para facilitar os cálculos, caso necessário.



Calculando integrais definidas


Calculando uma integral definida geometricamente.A forma mais básica de calcular-se integrais definidas é através dos concentos geométricos. Conforme está ilustrado pela imagem ao lado, basta dividir a área abaixo do gráfico que se deseja saber o valor em figuras geométricas de áreas conhecidas, calcular a área de cada uma delas e somar tudo. No entanto, existe outra forma de se fazer isso, através do Teorema Fundamental do Cálculo o qual afirma que, se F é uma antiderivada de f em [a, b], então A integral definida de f(x) de a até b é F(b) - F(a)., ou seja, basta calcular a antiderivada de f(x), que é igual a F, e fazer F(b) - o de cima - menor F(a) - o de baixo. Perceba que esse teorema leva o nome de fundamental porque consegue unir as três áreas do Cálculo: as integrais definidas, as integrais indefinidas e os limites. Uma verdadeira conquista do intelecto humano.

Comentários

  1. gostei da sua explicação.

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  2. Muito bom André Machado me ajudou bastante!

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