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Funções trigonométricas inversas

Nem todas as funções são invertíveis. Para descobrirmos se uma determinada função possui inversa, precisamos de verificar se ela passa no teste da reta horizontal, ou seja: se uma reta horizontal paralela ao eixo das abscissas corta o gráfico da função em apenas um ponto. No exemplo abaixo, podemos ver que a função afim passa nesse teste e, portanto, possui inversa:



A função afim passa no teste da reta horizontal e, portanto, é invertível.


Já no caso da função quadrática, percebemos que a reta horizontal corta o gráfico em dois pontos e, assim, vemos que  ela não possui inversa pois, se possuísse, f(x) teria dois valores, o que contraria a própria definição de função:


A função quadrática não é invertível pois não passa no teste da reta horizontal.


Já no caso das funções trigonométricas, a situação fica pior pois a tal reta horizontal é cortada infinitas vezes graças à frequência da função:


A reta horizontal é cortada infinitas vezes nas funções trigonométricas.


Assim, a princípio, as funções trigonométricas não possuiriam uma inversa, mas podemos calculá-las se restringirmos seu domínio a uma parte do gráfico que seja cortada apenas uma vez pela reta horizontal, como no exemplo abaixo:


Função trigonométrica com o domínio restringido.


Assim, estas são as principais funções trigonométricas:



Arco-seno


A função f(x) = arcsen(x) é a inversa da função seno. Seu domínio compreende o intervalo [-1, 1] e a imagem, o intervalo [-π/2, π/2]. Seu gráfico está representado abaixo:


Gráfico da função arco-seno



Arco-cosseno


Esta função, f(x) = arccos(x), é a inversa do cosseno. Assim como a função arco-seno, o domínio da função arco-cosseno é o intervalo [-1, 1], mas a sua imagem compreende apenas o intervalo [0, π], ou seja, ela retorna apenas valores positivos menores do que π, conforme pode-se verificar no gráfico abaixo:


Gráfico da função arco-cosseno.



Arco-tangente


O inverso da função tangente, f(x) = arctan(x), é a única cujo domínio é o conjunto dos números Reais, ou seja, o intervalo (-∞, +∞). No entanto, sua imagem ainda está limitada ao intervalo [-π/2, π/2].


Gráfico da função arco-tangente.

Comentários

  1. Esse é um modo mais claro para entender o que são funções.
    Faltou alguns exemplos métricos.
    Mesmo assim gostei obrigado pelas informações.

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  2. Interessante.

    ResponderExcluir
  3. Isso foi e é muito interessante

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