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Calculando integrais pelo método da substituição em u

Se você retornar ao artigo sobre Integrais, verá que lá está escrito que a integral da soma ou da diferença é a soma ou a diferença das integrais mas que não há regra específica para calcular-se integrais de produtos ou quocientes. Isso ocorre porque a tarefa de se encontrar tais integrais deriva da regra da cadeia através de uma técnica chamada de substituição em u.



A substituição em u (sendo que u pode ser qualquer outra letra que você desejar) basicamente consiste em transformar uma integral complicada em outra mais simples a qual conhecemos o resultado.  Dada uma função a qual desejamos integrar na qual podemos identificar duas funções, f(x) e f(x), seguimos este algoritmo de quatro passos:




  1. Faça uma escolha para u, digamos u = g(x);

  2. Realize a substituição u = g(x), du = g'(x)dx;

  3. Calcule a nova integral obtida (ela deve estar apenas em função de u);

  4. Na resposta encontrada, substitua u por g(x).


Como você pode perceber, esse é um processo de tentativa e de erro, pois se você escolher a função "errada", poderá não conseguir reescrever a integral apenas em função de u ou chegar a um resultado proibitivamente complicado.


Como exemplo, vamos calcular Integral de cos^2 x sen x dx. Vamos tomar u = cos x. Logo, temos que du/dx = -sen x, de onde tiramos que du = -sen x dx. O sinal de menos - o qual indica que seno de x está sendo multiplicado por -1 - pode ir para fora do símbolo de derivada e, assim, teremos que -du = sen x dx.


Perceba que em nossa integral temos exatamente o sen x multiplicando dx. Desta forma, podemos fazer as substituições devidas e Integral de cos^2 x sen x dx se transforma em - integral de u^2 du cujo resultado é -u^3/3 + C (lembre-se de que C é a constante de integração). Daí, basta substituir u por cos x e teremos o resultado desejado, que é (-cos^3 x)/3 + C.


Embora este seja o procedimento genérico e correto, nem sempre ele é suficiente. A situação mais comum ocorre quando, após a escolha de u, não termos a expressão equivalente a du na integral original, o que impede a substituição. Nestes casos, precisamos de manipular a expressão original. Por exemplo: se du = 3x dx mas só temos x dx na integral original, podemos multiplicar toda a antiderivada por 1/3 e multiplicar seu interior por 3, obtendo assim o resultado procurado.


É importante destacar, ainda, que a integral obtida através da substituição em u é uma integral comum que pode ser resolvida por quaisquer métodos existentes: dependendo da conta, você poderá precisar de, até, realizar uma segunda substituição para obter o resultado!

Comentários

  1. Porque usa-se o método da substituição na integral? e como vc sabe que deve usar esse método?

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