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Calculando integrais através da integração por partes

Como vimos, o método da substituição em u nos permite encontrar integrais de produtos de funções originados a partir da regra da cadeia mas, infelizmente, ele não serve para calcular as integrais de todos os produtos de funções que existem. Para aqueles que não podem ser calculados através da substituição em u, utilizamos outro método: a integração por partes.



A integração por partes, como a maioria das outras técnicas de cálculo de integrais, baseia-se na tentativa e no erro. Para entendê-la, vamos, primeiramente, recordar que a derivada do produto de duas funções, f(x) e g(x), pode ser calculada por:


(f.g)' = f'g + fg'


Se derivarmos, agora, os dois lados da igualdade, teremos:


A integral da derivada de f.g é igual à integral de f'g mais a integral de fg'.


Como a derivada é a operação inversa da integral, podemos resolver o primeiro membro e obtemos:


f vezes g mais uma constante C é igual à integral de f'g mais a integral de fg'.


Reorganizando, finalmente obtemos:


A integral de f(x)g'(x) é igual a f.g menos a integral de g(x)f'(x)


Mais ainda, se fizermos u = f(x) e du = f'(x)dx, v = g(x) e dv = g'(x)dx, podemos reescrever a fórmula acima como


Integral(udv) = uv - Integral(vdu)



Perigos da integração por partes


A integração por partes tem por objetivo principal transformar uma integral desconhecida em outra mais simples e conhecida. No entanto, o sucesso de sua utilização baseia-se unicamente na escolha de quem será u e de quem será v, ou de quem é f(x) e de quem é g(x). Ainda, vimos que não existe "escapatória": é necessário calcular tanto a derivada quanto a integral das funções escolhidas.


Se o aluno fizer uma escolha equivocada de f(x) e de g(x), no final ele poderá acabar ficando com uma integral mais difícil de calcular do que a original que ele tinha. Neste caso, a única solução será reiniciar todo processo desde o início.


Uma das formas de se obter sucesso na integração por partes - mas que não é 100% garantida! - é através do método LIATE, uma sigla que significa


Logarítmica, Trigonométrica Inversa, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial


O método diz que teremos mais chances de obter sucesso na integração por partes se escolhermos u como sendo uma função cuja categoria ocorre antes na lista e dv como o resto do integrando. Assim, se você tiver que integrar uma função exponencial que multiplica uma função logarítmica, você terá mais chances de acertar se escolher a logarítmica como u e a exponencial como dv.


Como exemplo, vamos calcular Integral de x.e^x. O método LIATE nos diz que devemos tomar x como sendo u, pois é uma função algébrica, e exdx como dv por ser uma função exponencial.


Dessa forma, temos que u = x então du = dx e dv = e^x então v = Integral(e^x) = e^x + C. Com isso, obtemos:


Integral(xe^xdc) = xe^x - Integral(e^xdx)


Finalmente, resolvendo a integral do segundo membro, obtemos:


Integral(xe^xdx) = xe^x - e^x + C


que é a resposta procurada.



Integração por partes repetidas


Às vezes, independente da escolha que tomemos para u e dv, acabamos com uma integral de difícil solução no segundo membro da igualdade. Isso geralmente acontece - mas não de forma exclusiva - quando temos uma função trigonométrica e uma função exponencial de base e.


Para resolver esses problemas, utilizamos a integração por partes repetidas que nada mais é do que aplicar a integração por partes mais uma vez na nova integral que foi gerada pela primeira aplicação.


Dois cenários são possíveis: a nova integração por partes poderá transformar a integral difícil em outra de fácil solução, caso onde apenas necessitamos de resolvê-la e organizar os termos da igualdade. No entanto, pode ser que a integral difícil seja parecida com a anterior. Neste caso, pode ser que na segunda integração por partes tenhamos uma "cópia" da integral do primeiro membro em algum lugar do segundo. Assim, passe a integral do segundo membro para o primeiro, faça as operações necessárias e proceda como se estivesse resolvendo uma equação.

Comentários

  1. Gostei do artigo, gostaria de um exemplo.

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  2. Esta mais claro na teoria goste

    ResponderExcluir
  3. olha nao percebe uma vez que tenho um exercio dp tipo: Lnxdx como resolver

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  4. Lorran Filipe Mendes do Amaral12 de novembro de 2015 07:06

    Obrigado!!!

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  5. u=ln(x) -> du=(1/x)dx
    dv=dx -> v=x

    u*v-(integral de)v*du

    o resultado será xln(x)-x

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