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Calculando a derivada de funções trigonométricas inversas

No último post, vimos as fórmulas das principais funções trigonométricas inversas. Agora, vamos conhecer suas derivadas.



Iniciemos nosso estudo com a função arco seno. Pela própria definição de função inversa, temos que y = arcsen(x) <=> sen y = x. Se derivarmos implicitamente a segunda parte da relação, vamos obter que:


d/dx (sen y) = dx/dx


De onde obtemos, pela Regra da Cadeia, que:



Isolando dy/dx, obtemos:


dy/dx = 1/(cos y)


Poderíamos encerrar nosso trabalho por aqui, mas se você observar o triângulo retângulo abaixo, vai perceber que, pelo Teorema de Pitágoras, podemos substituir o denominador pela identidade indicada:


Relações trigonométricas do arco seno


Logo, a derivada da função arco seno é  dy/dx = 1/Raiz(1-x^2), com x variando no intervalo (-1, 1), que corresponde ao domínio da função.


De forma extremamente similar (tente fazer os cálculos!), temos que A derivada do arco cosseno é -1/Raiz(1-x^2) para x pertencente a (-1,1) e A derivada do arco tangente é 1/(1+x^2) para todo x real.

Comentários

  1. porvavor em viaome materias de função trigonometrico para meu e mail

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  2. Leonardo Abrantes6 de abril de 2015 14:44

    Obrigado professor, seus ensinamentos foram de grande ajuda. Sem duvida essa e' a melhor maneira de encontrar a derivada dessas funções.

    ResponderExcluir

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