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Resolvendo formas indeterminadas de limites com a Regra de L'Hôpital

Às vezes, quando vamos calcular um limite, o desenvolvimento da conta resulta em uma fração do tipo zero sobre zero ou infinito sobre infinito. É importante entender que, quando isso acontece, não estamos diante da resposta final mas, sim, de uma situação conflitante, geralmente causada porque o denominador cresce indefinidamente e o numerador decresce ou porque numerador e denominador possuem termos em comum. Neste caso, precisamos de nos utilizar de artifícios para obter a resposta correta.



Como exemplo, vamos analisar o cálculo de http://www.andremachado.blog.br/artigos//wp-content/uploads/2011/12/lim1.gif que, claramente, resulta em um 0/0, indicando que tanto o numerador quanto o denominador possuem fatores comuns. Neste caso, vamos fatorar o numerador e reescrever o limite cancelando esses fatores comuns:


lim(x->2)((x+2)(x-2)/(x-2))


 

É fácil perceber, então. que o verdadeiro valor do limite procurado é 4 e não algo estranho como 0/0. O que fizemos foi transformar o numerador x2-4 no produto (x+2)(x-2), dividir o (x-2) pelo denominador e encontrar um limite equivalente.


Esta é a mais simples e mais utilizada ferramenta para se resolver limites com indeterminações mas, infelizmente, nem sempre é possível usufruir da mesma. Imagine, por exemplo, se tivéssemos algumas funções trigonométricas no numerador ou no denominador: fatorá-los não seria, definitivamente, algo tão simples ou viável como nesse exemplo banal. Isso significa que não podemos resolver esses limites?


É claro que não! Felizmente, para estes casos, dispomos de uma poderosa ferramenta chamada de Regra de L'Hôpital (ou de L'Hospital, dependendo da tradução) a qual diz que para calcularmos o limite de uma indeterminação 0/0 ou infinito sobre infinito simplesmente temos que derivar o numerador e o denominador e calcular o novo limite.


Assim, pela regra, o limite acima poderia ser calculado como:


Calculando o limite pela regra de L'Hôpital


Que obviamente deu o mesmo resultado. Apenas lembre-se que a regra de L'Hôpital serve para calcular limites e não derivadas.

Comentários

  1. Olá!
    Sou caloura no curso de engenharia e tenho uma dúvida de como calcular um dos limites desta lista de exercícios:http://fisica.uems.br/arquivos/calc1not/Lista_I_limites.pdf
    É o limite da letra "L". Posso derivar o polinômio do numerador?

    Desde já, muito obrigada, o seu site tem sido demasiado útil!

    ResponderExcluir
  2. Sim, pois é claramente um 0/0. Apenas lembre-se de que a raiz quadrada de x é x elevado a 1/2.

    Abraços e desculpe pela demora em responder.

    ResponderExcluir
  3. Bom dia, sou calouro no curso de engenharia, e estava sem estudar a um bom tempo. Queria saber como que derivando a função (x² - 4) / (x – 2) deu o resultado 2x / 1.
    Grato

    ResponderExcluir
  4. Hola quisiera saber como se resuelve este ejercisio de l`hopital:
    lim cuando x tiende a infinito de la funcion x/ln(2+e(elevado a la x)
    gracias

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