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O que são Integrais?

Em um post anterior, falamos aqui sobre a definição de derivada. Agora, chegou o momento de falarmos de suas contrapartes no Cálculo: as Integrais.




O problema da área


Um dos grandes problemas que sempre assolou os matemáticos do mundo antigo foi o de encontrar a área de figuras planas. Se a figura em questão fosse um polígono conhecido, como um retângulo ou um trapézio, bastava utilizar a fórmula correspondente. Mas e se a figura em questão fosse irregular - como são a maioria das figuras à nossa volta?


As primeiras tentativas de se determinar a área de tais figuras consiste justamente em dividí-las em outras figuras de área conhecida. Na figura abaixo, que bem poderia representar um terreno, não possuímos uma fórmula específica para o cálculo de sua área, mas podemos dividi-la em dois retângulos - o verde e o amarelo -, calcular a área de cada um deles e somar os resultados:


Cálculo da área de uma figura irregular através de sua divisão em polígnos conhecidos.


O problema maior ocorria quando a figura em questão possuía curvas ou círculos, pois o método acima não seria aplicável. Para resolvê-lo, o matemático grego Arquimedes criou o método da exaustão, o qual consiste em se inscrever uma série de polígonos regulares no círculo até ocupar - ou exaurir - a maior parte possível de sua área, donde se conclui que a área do círculo seria, pois, equivalente à área do polígono nele inscrito. Observando a ilustração abaixo, você poderá perceber, através da intuição, que a área de um círculo corresponde à área de um polígono de infinitos lados:


Calculando a área de um círculo pelo método da exaustão


Assim como a derivada serve para nos dar a inclinação de uma reta tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto, a integral serve para que descubramos qual a área entre o gráfico de uma função f, contínua e não negativa, e um intervalo [a,b] no eixo das abscissas.



A Integral Indefinida


Quando falamos simplesmente de integral, podemos estar nos referindo às definidas ou às indefinidas. Neste momento, estaremos interessados apenas no último tipo.


Explicando de uma maneira extremamente simples, a integral indefinida, também chamada de primitiva ou de antiderivada, é a operação oposta, ou a prova real, se você preferir, da derivada.


Dizemos que uma função F(x) é uma antiderivada de outra função f(x) em un intervalo [a,b] se F'(x) = f(x) para cada valor naquele intervalo. Observe o exemplo abaixo, onde podemos ver que a função F(x)=(1/2)x² é uma antiderivada da função f(x) = x pois a derivada da primeira é igual à segunda:


A derivada de F(x) = 1/2 x^2 é igual à função f(x) =x


Perceba, porém, que F(x) = (1/2)x² não é a única antiderivada de f(x) = x pois qualquer outra função que tenha a forma (1/2)x² + C, onde C é uma constante qualquer, também resultará em x, pois a derivada de uma constante é zero:


Qualquer constante C adicionada à antiderivada F(x) resulta em f(x)


Chamamos a essa constante C de constante de integração e, inserindo-a, indicamos todas as funções que satisfazem F'(x) = f(x).


Processo de encontrar-se antiderivadas é chamado de integração. Ao procurarmos uma integral de uma função f(x) o que estamos fazendo, na verdade, é nos perguntando quais funções que, uma vez derivadas, resultam em f(x). Modernamente, indicamos uma integral através da seguinte notação, criada pelo matemático Leibniz, em 1675:


Notação de integral


Dessa forma, o exemplo que demos nesse post poderia ser reescrito como:


A Integral de x é x ao quadrado sobre dois mais uma constante C



Propriedades das Integrais


As integrais possuem uma série de propriedades bastante previsíveis:


Uma constante pode pular para fora do sinal de integral


(Uma constante pode pular para fora do sinal de integral)


A integral da soma é a soma das integrais


(A integral da soma é a soma das integrais)


A integral da diferença é a diferença das integrais


(A integral da diferença é a diferença das integrais)


Diferentemente das outras precisas áreas da Matemática, o processo de se encontrar integrais baseia-se, muitas vezes, na adivinhação. É claro que existem, hoje, várias e enormes tabelas de integrais disponíveis - muitas delas utilizadas por programas CAS, além de algumas técnicas que veremos nos próximos posts. Até lá!

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