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Derivadas: máximos, mínimos e concavidades do gráfico de uma função

O estudo do sinal da derivada e da derivada de segunda ordem nos permite obter um vasto leque de informações sobre o gráfico de uma função qualquer. A princípio, a forma mas básica de se desenhar o gráfico de uma função é marcar alguns pontos (x,y) no plano cartesiano e uní-los, mas essa técnica, apesar de nos dar uma ideia geral da forma do gráfico, peca em vários aspectos. Quem nunca desenhou o gráfico de uma função quadrática mais ou menos alargado do que ele realmente é? Agora, vamos aprender a identificar algumas características desses gráficos através do sinal da derivada primeira e da derivada segunda.




Máximos e mínimos relativos


Se pudéssemos comparar o gráfico de uma função como o desenho bidimensional de uma cordilheira, o topo dos morros seriam os máximos e o fundo dos vales seriam os mínimos da função. Os máximos e os mínimos relativos são os pontos respectivamente mais altos e mais baixos em sua vizinhança, não precisando ser os pontos mais altos ou baixos do gráfico inteiro.


Gráfico de uma função com máximos e mínimos relativos


No gráfico acima, é fácil perceber que a parte circulada em vermelho é a mais baixa de sua vizinhança - que está dentro do círculo vermelho - mas não é a mais baixa do gráfico - existe outra bem menor à direita! Assim, a parte circulada em vermelho é um mínimo relativo, pois possui o menor valor de f(x) em sua proximidade.


Formalmente, dizemos que a função f(x) possui um máximo (mínimo) relativo em x0 se houver um intervalo aberto contendo x0 tal que f(x0) é maior (menor) ou igual a qualquer outro f(x) naquele intervalo.


Esses extremos relativos apenas ocorrem nos chamados pontos críticos, que são aqueles onde a derivada da função é 0 ou onde a função não é diferenciável (o que pode ocorrer em bicos ou em descontinuidades). Caso o ponto crítico ocorra em um local onde a derivada é 0 - isto é, o gráfico possui uma reta tangente horizontal - tal ponto será chamado de ponto estacionário. Observe, no gráfico abaixo, que os máximos e mínimos relativos ocorrem, de fato, onde há retas tangentes horizontais (em verde):


Gráfico com retas tangentes horizontais


É necessário tomar cuidado, porém, com a recíproca da afirmação: os pontos de máximo ou de mínimo ocorrem onde há retas tangentes horizontais (isto é, onde f'(x) = 0), mas isso não significa que em todo ponto onde f'(x) = 0 existe, necessariamente, um máximo ou um mínimo relativo. Para que isso ocorra, é necessário que a derivada mude de sinal naquele ponto.


Em outras palavras, se f'(x0) >0 em um intervalo aberto à esquerda de x0 e se f'(x0) < 0 em um intervalo aberto à direita de  x0, então f tem um máximo relativo em x0; Se por outro lado f'(x0) < 0 imediatamente à esquerda de x0 e f'(x0) > 0 imediatamente à direita, então f possui um mínimo relativo em x0. Em compensação, se f não muda de sinal à direita ou à esquerda, f não tem máximos ou mínimos relativos em x0.



Crescimento e decrescimento


A derivada também nos informa quando uma função é crescente ou decrescente. Se f é contínua em um intervalo I e f'(x) >0 para todo x pertencente ao intervalo I, então f é crescente no intervalo I; Se f'(x) < 0 para todo x pertencente a I, então f é decrescente no intervalo I. Se você observar o gráfico e a explicação anterior, notará que é possível criar dois intervalos antes e depois de um ponto crítico nos quais verificar-se-ão esta propriedade.



Concavidade


Assim como a derivada primeira nos diz quando uma função é crescente ou decrescente através de seu sinal, uma derivada segunda (que é a derivada da derivada) nos diz quando o gráfico é côncavo para baixo ou para cima. Se f''(x) > 0 em um intervalo aberto I, f'(x) é crescente em I e a concavidade do gráfico é voltada para cima; Se f''(x) < 0 em um intervalo aberto I, f'(x) é decrescente em I e a concavidade do gráfico é voltada para baixo.


Se f é contínua em x0 e ocorre uma mudança de concavidade em x0, então x0 é chamado ponto de inflexão do gráfico.



Máximos e mínimos absolutos


De forma similar aos máximos e mínimos relativos, dizemos que uma função f possui um máximo (mínimo) absoluto em um intervalo I pertencente ao seu domínio se se em um ponto x0 pertencente a I, f(x) é menor ou igual a f(x0) (f(x0) é menor ou igual a f(x)) para todo x em I.


Se f possui um máximo absoluto em I, f(x0) é o maior valor de f em I e se possui um mínimo, f(x0) é o menor valor em I. O vértice de uma parábola voltada para cima, por exemplo, é o mínimo absoluto daquela função quadrática. Se uma função possui um máximo ou um mínimo absoluto, ela possui um extremo absoluto.


Para encontrarmos os máximos ou mínimos absolutos, devemos testar e eliminar os possíveis candidatos, que são:




  • os extremos do intervalo, caso estes façam parte do mesmo. Por exemplo: no intervalo fechado [2, 5], 2 e 5 são fortes candidatos, enquanto que no intervalo aberto (3, 8), 3 e 8 não são pois não fazem parte do mesmo.

  • os pontos interiores do intervalo onde a derivada é igual a 0. Para fazer isso, calcule f'(x) e iguale o resultado a 0, resolvendo a equação;

  • os pontos interiores do intervalo onde a derivada não existe.


Após fazer uma lista com  esses valores, calcule a imagem de cada um por f(x) e pegue o maior e/ou o menor valor encontrado.

Comentários

  1. Bacana essa explicação. Resumido e descomplicado.

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  2. Gostei muito da explicação mas acho que falta alguns exemplos pra ilustrar melhor o comportamento das funções e etc. Mas de qualquer forma parabéns, o site é bem didático.

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