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Demonstração da Fórmula de Lagrange

O leitor Diego postou um comentário no artigo sobre Produto Vetorial pedindo para que fosse demonstrada a igualdade (u^v)^w = -(v.w)u+(u.w)v, onde u, v e w são vetores. Essa igualdade é um dos principais pilares do duplo produto vetorial e como sua demonstração é um pouco complexa, resolvi responder na forma de post. Durante minhas pesquisas, descobri que há poucas demonstrações desse teorema na Internet em Português e algumas demonstrações em Inglês são difíceis de compreender. Apresento-lhes, pois, uma demonstração adaptada do livro Geometria Analítica, um tratamento vetorial de Paulo Boulos, edição 2005.


Demonstração: Sejam u, v e w vetores. Queremos mostrar que (u^v)^w = -(v.w)u+(u.w)v.


Vamos supor que (u,v) seja LI. Logo, (u^v)^w é uma combinação linear de (u,v). Portanto, existem λ e μ pertencentes aos Reais tais que (u^v)^w = λu + μv.


Seja B = (i, j, k) uma base ortonormal positiva de E³. Seja i paralelo a u e j gerado por u e v. Logo, em relação a B, temos:




  • u = (a1, 0, 0)

  • v = (a2, b2, 0)

  • w = (a3, b3, c3)


Substituindo na igualdade anterior, obtemos λu + μv = λ(a1, 0, 0) + μ(a2, b2, 0) = ( λa1+ μa2, μb2 , 0).


Porém, temos que:


u^v


e


(u^v)^w


E como (u^v)^w = λu + μv, resulta que:


Sistema


Como (u,v) é LI, b2 é não nulo, o que nos permite fazer uma simplificação pela segunda igualdade, obtendo μ = a1 a3 . Substituindo na primeira igualdade, obtemos λ = -( a2a3  +  b2b3 ).


Mas como a base B é ortonormal, temos que  a1 a3 = u . v e -( a2a3  +  b2b3 ) = -vw.


Assim, λ = -vw e μ = u . v e, portanto, (u^v)^w = -(v.w)u+(u.w)v cqd.

Comentários

  1. Obrigado pela demonstração!

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  2. errata: Na última linha "μ = u . w" e não "μ = u . v"

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