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Calculando a derivada de funções exponenciais e logarítmicas

A princípio, pode-se pensar que para calcular-se a derivada de uma função exponencial, basta proceder-se como no caso das funções potência e baixar a variável no expoente, diminuindo-lhe uma unidade no novo expoente. No entanto, o cálculo da derivada nesse tipo de função possui alguns detalhes a mais, os quais veremos a seguir:




O número de Euler


A função exponencial é aquela da forma y = expa(x) = ax, com x Real e a uma constante fixa, maior do que zero e diferente de 1. Vamos tomar como exemplo a função exponencial y = 2x. A derivada dy/dx (2x) quando x = 0 é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y = 2x no ponto de abscissa 0. Como sabemos, o gráfico de toda função exponencial passa pelo ponto (0, 1) pois qualquer coisa elevado a 0 dá 1. Logo, a reta tangente ao gráfico dessa função em x = 0 passa por (0,1).


A equação da reta que passa por (0,1) e tem coeficiente angular 1 é y - 1 = 1 (x - 0), de onde tiramos que y - 1 = x e, portanto, y = x + 1. Essa reta não pode ser a reta tangente ao gráfico de y = f(x) e, além disso, podemos ver que a derivada de y = 2x quando x = 0 é menor do que 1! De forma análoga, verificamos que a derivada de y = 3x quando x = 0 é maior do que 1. Compare, abaixo, os gráficos de  y = 2x, em azul e de y = 3x, em verde:


Gráfico de y = 2^x e de y = 3^x


Pela lógica - e tmbém pela intuição - concluímos que deve haver um número entre 2 e 3 cujo coeficiente de inclinação da reta tangente no ponto x = 0 seja exatamente igual a 1, ou seja, a reta y = x + 1 é tangente ao gráfico de alguma função y = ax no ponto x = 0.


O número que satisfaz a essa condição é chamado de Número de Euler, em homenagem ao grande matemático Leonhard Euler, e é designado pela letra e. Sendo um número irracional, e vale aproximadamente 2,71828.


Logo, podemos afirmar que  A derivada de e quando x = 0 é igual a 1, mas pela definição de derivada, sabemos que Definição do limite de e. Daí, prosseguindo os cálculos, concluímos que a derivada de e é... o próprio número e! Com isso, qualquer função exponencial que seja múltipla de e (ou seja, da forma f(x)=kex) é sua própria derivada.



A derivada de funções exponenciais


Como sabemos, o logarítmo é a inversa da função exponencial de mesma base. Quando estamos falando da inversa de uma função na forma  f(x)=kex, o logarítmo em questão recebe um nome especial, sendo chamado de logarítmo natural e designado por ln. Este logarítmo nos permitirá chegar a uma fórmula para a derivada de qualquer função exponencial.


Consideremos uma função y = ax . Se aplicarmos o logarítmo natural dos dois lados da igualdade, teremos que ln(y) =ln(ax) e, utilizando-se das propriedades dos logarítmos, poderemos escrever que ln(y) = x ln (a).


De ax = y, tiramos que eln y = eln ax = ex ln a. Com a derivação implícita, temos que d/dx(ax) = d/dx(ex ln a). Pela Regra da Cadeia, tiramos que esse valor é igual a ax . ln a. Logo, a derivada de uma função exponencial é a própria função vezes o logarítmo natural da base. Em particular, se a base for igual a e, a derivada será a própria função.



Derivada de funções logarítmicas


Como o logarítmo é o inverso da função exponencial, segue que d/dx(loga x) = 1/(x . ln a). Em particular, a derivada de ln x é 1/x.

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