Pular para o conteúdo principal

O que são Limites

De um ponto de vista informal, os limites são utilizados quando desejamos saber como uma função se comporta quando sua variável independente tende a um certo valor.



Como exemplo, vamos tomar a função f(x) = x² + 1 e vamos analisar o que acontece com a variável independente f(x) quando x se aproxima cada vez mais de 3. Com o auxílio de uma planilha eletrônica, podemos calcular a imagem de números tão próximos quanto queiramos de três:


Aproximando f(x) = x² + 1 de 3


Com base em nossa amostragem, podemos intuir que f(x) fica cada vez mais próximo de 10 a medida que x se aproxima de 3. Perceba que o valor da imagem de 3 foi propositalmente deixado em branco pois, aqui, não nos interessa saber o que acontece quando a função é 3, mas apenas quando se aproxima de 3. Nossa intuição de que a função torna-se cada vez mais próxima de 10 pode ser confirmada se olharmos para seu gráfico:


Gráfico de f(c) = x^2 + 3


Perceba que, a medida que a imagem da função se aproxima de 3, uma faixa vai cercando o valor 10 no eixo das ordenadas. Logo, podemos dizer que oo limite de f(x) = x² + 1 quando x se aproxima de 3 é 10, informação esta que pode ser representada pela seguinte notação:


Limite de f(x) = x² + 1 quando x se aproxima de 3


Embora nós tenhamos obtido o limite da função através de amostragem, este não é o melhor método para o calcularmos por diversas razões. Primeiro porque, dependendo do recurso utilizado para obter a amostra, poderá haver erros de precisão ou de arredondamento e, além disso, pode ocorrer de os valores escolhidos para o nosso teste não revelarem o verdadeiro comportamento da função, fazendo-nos chegar a uma conclusão equivocada.


O limite que mostramos no exemplo anterior é chamado de limite bilateral porque se aproxima do mesmo valor, qual seja 10, tanto pela direita quanto pela esquerda. Para que fique bem claro, quando dizemos que o limite se aproxima do mesmo valor pela direita estamos falando de todos os valores maiores do que o valor procurado, tomados cada vez mais próximos deste e quando falamos pela esquerda nos referimos aos valores menores do que o valor procurado que se tornam cada vez mais próximos. Para exemplificar melhor, veja as setas no gráfico abaixo (clique na imagem para ampliar):


Limites laterais


Voltando ao nosso exemplo anterior, percebemos que quando os valores de x se aproximam de 3 pela direita (isto é, são tão próximos de 3 quanto quisermos mas são maiores do que 3), o valor de f(x) fica cada vez mais próximo de 10 e representamos isso por:


lim x->3+ x² + 1 = 10


Da mesma forma, é fácil notar que quando os valores de x se aproximam de 3 pela esquerda (isto é, são tão próximos de 3 quanto quisermos de 3 mas são menores do que 3), o valor de f(x) fica cada vez mais próximo de 10:


lim x-> 3- x² -1 = 10


Note que, tanto pela esquerda quanto pela direita, o valor do limite é o mesmo. Quando isso acontece, dizemos que o limite bilateral de uma função existe e é igual ao valor encontrado (algumas funções apresentam limites diferentes quando vão pela esquerda ou pela direita; neste caso, dizemos que o limite não existe). Ainda é importante salientar que os símbolos de + e de - utilizados nada tem a ver com o sinal do valor para o qual estamos procurando o limite mas, sim, apenas para especificar se o limite em questão é pela direita ou pela esquerda (para que você entenda melhor, considere que os números positivos, de sinal +, estão à direita do 0 e os negativos, de sinal -, estão à esquerda).


Embora até agora tenhamos exibido limites que tendem a um certo número, pode ser que os limites não existam porque ao aproximarmos a variável independente de um determinado valor, f(x) cresça ou decresça sem parar.


Por exemplo: vamos considerar a função f(x) = 1/x e calcular seu limite quando x tende a 0. Pela direita, para cada x > 0 os valores de f(x) ultrapassam x desde que o tornemos tão próximo de 0 mas diferente de 0. Neste caso, dizemos que o limite da função quando x tende a 0 pela direita é mais infinito e representamos por:


Lim x ->0+ 1/x = +infinito


Já para x menor do que 0, os valores de f(x) ficam menores do que x desde que tomemos x suficientemente próximo de 0, mas menor do que 0. Dizemos que o limite da função quando x tende a 0 pela esquerda é menos infinito:


lim x->0- 1/x = - infinito


Quando o limite de uma função f(x) tende ao infinito pela direita ou pela esquerda quando x tende a um valor L, dizemos que a reta x = L é uma assíntota vertical da curva de f(x), pois esta se aproxima cada vez mais dela sem nunca tocá-la. No exemplo anterior, como x tendia a 0, o próprio eixo y é a assíntota vertical da função.

Comentários

  1. Waldemir Eleutério Luchis20 de agosto de 2014 02:14

    Muito boa a explicação. Parabéns

    ResponderExcluir
  2. Muito clara a sua explicação. Foi muito útil!!
    Obrigado.

    ResponderExcluir

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog

Como acessar configurações avançadas no Sagemcom F@st 2704N

NOVO TUTORIAL: GUIA DEFINITIVO DAS CONFIGURAÇÕES AVANÇADAS DO SAGEMCOM F@ST 2704N!
Atualização 23/01/2015: Alguns problemas apontados e descobertos nesse modem:
1. Alguns usuários relatam dificuldade em salvar alterações na configuração ADSL;
2. Não sei como acessar os logs do modem; mesmo habilitando, eles não aparecem;
3. Se você trocar o DNS do modem, ele voltará ao da Oi ao ser reiniciado;
4. Estou enfrentando alguns problemas sérios de lentidão. Não sei se isso é relacionado ao modem ou a algum dispositivo na minha rede interna.
-----
Os modens da marca Sagemcom estão se tornando muito populares no Brasil, não, quiçá, por sua qualidade, mas porque eles são os atuais queridinhos das operadoras: quando você assina um plano ADSL, geralmente a operadora envia um modem wireless para sua casa a fim de que você possa navegar sem precisar ter gastos extras com esse equipamento. É claro que os equipamentos fornecidos pelas operadoras são básicos, mas saciam as necessidades dos usuários comuns - …

O Guia Definitivo das configurações avançadas no Sagemcom F@st 2704N

Há alguns meses, eu contei minha experiência com o Sagemcom F@st 2704N e tenho recebido diversos comentários sobre suas configurações avançadas. Agora que minhas aulas na faculdade estão acabando, resolvi reservar um tempinho para explorar melhor esse modem que, diga-se de passagem, é muito bom.